2010-2011学年北京市东城区（南片）八年级（下）期末数学试卷.doc

馨雅资源网 2010-2011学年北京市东城区（南片）八年级（下）期末 数学试卷 一、精心选一选（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）已知分式的值为0，那么x的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 2．（3分）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝x﹣3 D．y＝ 3．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，4），则函数的图象在（　　） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 4．（3分）益阳市某年6月上旬的最高气温如下表所示： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高气温（℃） 30 28 30 32 34 32 26 30 33 35 那么这10天的最高气温的平均数和众数分别是（　　） A．32，30 B．31，30 C．32，32 D．30，30 5．（3分）下面计算正确的是（　　） A．3+＝3 B．÷＝3 C．•＝ D．＝±2 6．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 7．（3分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 8．（3分）如图，菱形ABCD的周长为20，点A的坐标是（4，0），则点B的坐标为（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（0，3） D．（0，4） 9．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且CO＝OB，△ABC的面积为2，则此反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 二、认真填一填（本题共8小题，每小题2分，共16分） 11．（2分）使分式有意义的x的取值范围是　 　． 12．（2分）化简：＝　 　． 13．（2分）若点A（2，y1）、B（3，y2）都在反比例函数的图象上，则y1　 　y2（填“＜”、“＞”或“＝”）． 14．（2分）如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是　 　． 15．（2分）小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是　 　． 16．（2分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC边上的一点，若添加一个条件　 　，则四边形EBFD为平行四边形（只填一个条件即可）． 17．（2分）如图所示，在一棵树的10米高的B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米的A处．另一只猴子爬到树顶D处后顺绳子滑到A处，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高　 　米． 18．（2分）如图所示，直线y＝x+1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x+1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x+1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n个正方形的边长为　 　． 三、仔细算一算（本题共3小题，每小题4分，共12分） 19．（4分）计算：． 20．（4分）先化简，再求值：，其中x＝2． 21．（4分）解分式方程： 四、积极想一想（本题共7小题，共42分） 22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12cm，CE＝5cm，求平行四边形ABCD的周长． 23．（6分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，延长CB到E，使EB＝AD，连接AE． （1）求证：AE＝CA； （2）若AC⊥AB，AB＝2，∠ABC＝60°，求AC的长． 24．（4分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形． （1）使三角形三边长为3，，； （2）使平行四边形有一锐角为45°，且面积为4． 25．（7分）甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打多少个字？ 李明同学是这样解答的： 设甲同学打印一篇3 000字的文章需要x分钟， 根据题意，得（1） 解得：x＝50． 经检验x＝50是原方程的解．（2） 答：甲同学每分钟打字50个，乙同学每分钟打字38个．（3） （1）请从（1）、（2）、（3）三个步骤说明李明同学的解答过程是否正确，若有不正确的步骤改正过来． （2）请你用直接设未知数列方程的方法解决这个问题． 26．（6分）在学校组织的“文明出行”的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次竞赛中二班成绩在C级以上（包括C级）的人数为　 　； （2）请你将表格补充完整： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 87.6 90 　 　 二班 87.6 　 　 100 （3）请从下列不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析： ①从平均数和中位数的角度来比较一班和二班的成绩； ②从平均数和众数的角度来比较一班和二班的成绩． 27．（7分）如图，直线y＝kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与反比例函数y＝（m+5）x2m+1的图象交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限． （1）求此反比例函数的解析式及B点的坐标； （2）若△AOB的面积为2，求A点的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（7分）如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F． （1）求证：DE﹣BF＝EF； （2）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）； （3）若AB＝2a，点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论． 2010-2011学年北京市东城区（南片）八年级（下）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、精心选一选（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）已知分式的值为0，那么x的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 【分析】根据分式的值为零的条件可得x+1＝0且x﹣1≠0，再解方程即可． 【解答】解：由题意得：x+1＝0，且x﹣1≠0， 解得：x＝﹣1， 故选：B． 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 2．（3分）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝x﹣3 D．y＝ 【分析】分式有意义，分母不等于0；二次根式有意义：被开方数是非负数就可以求出x的范围． 【解答】解：A、分式有意义，x﹣3≠0，解得：x≠3，故A选项错误； B、二次根式有意义，x﹣3＞0，解得x＞3，故B选项错误； C、函数式为整式，x是任意实数，故C选项错误； D、二次根式有意义，x﹣3≥0，解得x≥3，故D选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，4），则函数的图象在（　　） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【分析】当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限． 【解答】解：由题意知，k＝（﹣3）×4＝﹣12＜0， ∴函数的图象在第二、四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限． 4．（3分）益阳市某年6月上旬的最高气温如下表所示： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高气温（℃） 30 28 30 32 34 32 26 30 33 35 那么这10天的最高气温的平均数和众数分别是（　　） A．32，30 B．31，30 C．32，32 D．30，30 【分析】根据众数，平均数的定义就可以解答． 【解答】解：平均数是：（30+28+30+32+34+32+26+30+33+35）÷10＝31； 30出现3次是最多的数，所以众数为30． 故选：B． 【点评】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． 5．（3分）下面计算正确的是（　　） A．3+＝3 B．÷＝3 C．•＝ D．＝±2 【分析】A、根据合并二次根式的法则即可判定； B、根据二次根式的除法法则即可判定； C、根据二次根式的乘法法则即可判定； D、根据二次根式的性质即可判定． 【解答】解：A、不能合并，故选项错误； B、÷＝＝3，故选项正确； C、，故选项错误； D、＝2，故选项错误． 故选：B． 【点评】此题考查了二次根式的计算，要掌握各运算法则．二次根式的加减运算，只有同类二次根式才能合并；乘法法则；除法法则． 6．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【解答】解：A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故正确； B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故错误； C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故错误； D、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故错误． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 7．（3分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据折叠的性质求∠EAD′，再在Rt△EAD′中求∠AED′． 【解答】解：根据题意得：∠DAE＝∠EAD′，∠D＝∠D′＝90°． ∵∠BAD′＝30°， ∴∠EAD′＝（90°﹣30°）＝30°． ∴∠AED′＝90°﹣30°＝60°． 故选：C． 【点评】已知图形的折叠，就是已知图形全等，就可以得到一些相等的角． 8．（3分）如图，菱形ABCD的周长为20，点A的坐标是（4，0），则点B的坐标为（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（0，3） D．（0，4） 【分析】根据菱形的四边相等，得出A、B两点之间的距离为20÷4＝5，再设B点的坐标为（0，y），根据两点之间的距离公式代入A、B两点的坐标，化简即可得出B点的坐标． 【解答】解：根据菱形的性质，四边相等得AB＝20÷4＝5，OA＝4， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴在直角三角形AOB中，由勾股定理，OB＝＝＝3， ∴B（0，3）． 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质以及勾股定理．在直角坐标系中，运用菱形的性质，四边相等，对角线互相垂直平分，根据点的坐标确定相关线段的长度，运用勾股定理求解． 9．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且CO＝OB，△ABC的面积为2，则此反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】连OA，由于CO＝OB，根据三角形面积公式得到S△AOB＝S△ABC＝×2＝1，再根据反比例函数y＝（k≠0）的k的几何意义得到|k|＝2S△AOB＝2，然后利用反比例函数的性质得到k的值，从而确定反比例函数的性质． 【解答】解：连OA，如图， ∵CO＝OB， ∴S△AOC＝S△AOB， ∴S△AOB＝S△ABC＝×2＝1， ∴|k|＝2S△AOB＝2， ∵反比例函数图象在第一、三象限， ∴k＝2， ∴反比例函数的解析式为y＝． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）的k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|． 10．（3分）如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 【分析】本题考查空间想象能力． 【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成， 由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一， 正方形的面积＝4×4＝16， ∴图中阴影部分的面积是16÷4＝4． 故选：B． 【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系． 二、认真填一填（本题共8小题，每小题2分，共16分） 11．（2分）使分式有意义的x的取值范围是　x≠﹣3　． 【分析】分式有意义的条件是分母不为0． 【解答】解：若分式有意义，则x+3≠0， 解得：x≠﹣3． 故答案为x≠﹣3． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义． 12．（2分）化简：＝　　． 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式＝3﹣2＝． 故答案为：． 【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 13．（2分）若点A（2，y1）、B（3，y2）都在反比例函数的图象上，则y1　＞　y2（填“＜”、“＞”或“＝”）． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得2y1＝3，3y2＝3，再算出y1、y2的值，即可比较出大小． 【解答】解：∵点A（2，y1）、B（3，y2）都在反比例函数的图象上， ∴2y1＝3，3y2＝3， 解得：y1＝，y2＝1， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 14．（2分）如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是　19　． 【分析】根据勾股定理列式求出AB的长度，然后利用正方形的面积减去三角形的面积，列式进行计算即可得解． 【解答】解：∵AE⊥BE， ∴△ABE是直角三角形， ∵AE＝3，BE＝4， ∴AB＝＝＝5， ∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝52﹣×3×4＝25﹣6＝19． 故答案为：19． 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理求出正方形的边长并观察出阴影部分的面积的表示是解题的关键． 15．（2分）小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是　小张　． 【分析】观察图象可得：小张的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小张的成绩较为稳定． 【解答】解：从图看出：小张的成绩波动较小，说明它的成绩较稳定． 故填小张． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 16．（2分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC边上的一点，若添加一个条件　AE＝FC（答案不唯一）　，则四边形EBFD为平行四边形（只填一个条件即可）． 【分析】四边形EBFD要为平行四边形，则要证DE＝BF，就要证△AEB≌△CFD，而在平行四边形中已有AB＝CD，∠A＝∠C，因而可添加AE＝FC或∠ABE＝∠CDF就可用SAS或ASA得证． 【解答】解：∵四边形EBFD要为平行四边形 ∴∠BAE＝∠DCF，AB＝CD 又AE＝FC ∴△AEB≌△CFD ∴AE＝FC ∴DE＝BF ∴四边形EBFD为平行四边形． ∴可添加的条件是AE＝FC，同理还可添加∠ABE＝∠CDF． 故答案为：AE＝FC或∠ABE＝∠CDF． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，是开放题，答案不唯一，可以针对各种平行四边形的判定方法，给出条件，本题可通过要证DE＝BF，且DE∥BF，即可证明平行四边形成立，于是构造条件证△AEB≌△CFD即可． 17．（2分）如图所示，在一棵树的10米高的B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米的A处．另一只猴子爬到树顶D处后顺绳子滑到A处，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高　15　米． 【分析】设BD＝x，则这棵树高：10+x，在Rt△ACD中利用勾股定理可求出AD的长度，根据BC+CA＝BD+DA可得出方程，解出即可得出答案． 【解答】解：由题意得，CD＝x+10，AC＝20米， 在Rt△ADC中，AD＝＝， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴BC+CA＝BD+DA，即10+20＝x+， 解得：x＝5，即树高10+5＝15米． 故答案为：15． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是设出未知数，根据勾股定理求出AD的长度，然后根据等量关系，利用方程的思想解答． 18．（2分）如图所示，直线y＝x+1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x+1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x+1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n个正方形的边长为　2n﹣1　． 【分析】解题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算n＝1，n＝2…总结出规律． 【解答】解：根据题意不难得出第一个正方体的边长＝1， 那么：n＝1时，第1个正方形的边长为：1＝20 n＝2时，第2个正方形的边长为：2＝21 n＝3时，第3个正方形的边长为：4＝22 … 第n个正方形的边长为：2n﹣1 故答案为：2n﹣1 【点评】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 三、仔细算一算（本题共3小题，每小题4分，共12分） 19．（4分）计算：． 【分析】先算乘方，再算除法，最后算加减即可． 【解答】解：原式＝3﹣2﹣2+ ＝1﹣． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在解答此类题目时要注意把最后结果化为最简二次根式的形式． 20．（4分）先化简，再求值：，其中x＝2． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝1代入进行计算即可． 【解答】解：原式＝•+ ＝•+ ＝+ ＝ ＝． 当x＝2时，原式＝＝2． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用． 21．（4分）解分式方程： 【分析】因为3﹣x＝﹣（x﹣3），所以可确定方程最简公分母为：（x﹣3），去分母时要注意符号变化． 【解答】解：去分母得：1﹣x＝2（x﹣3），整理方程得：﹣3x＝﹣7， ∴x＝，经检验x＝是原方程的解， ∴原方程的解为x＝． 【点评】解分式方程时要注意以下几方面： （1）要准确确定最简公分母； （2）去分母时要注意符号变化，不要漏乘常数项； （3）求出解后一定要进行检验． 四、积极想一想（本题共7小题，共42分） 22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12cm，CE＝5cm，求平行四边形ABCD的周长． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根据直角三角形的勾股定理得到BC＝13．根据等腰三角形的性质得到AB．CD，从而求得该平行四边形的周长． 【解答】解：在平行四边形ABCD中， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABE＝∠EBC，∠BCE＝∠ECD．， ∴∠EBC+∠BCE＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴BC2＝BE2+CE2＝122+52＝132 ∴BC＝13cm， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AB＝AE， 同理CD＝ED， ∵AB＝CD， ∴AB＝AE＝CD＝ED＝BC＝6.5cm， ∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（6.5+13）＝39cm 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 23．（6分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，延长CB到E，使EB＝AD，连接AE． （1）求证：AE＝CA； （2）若AC⊥AB，AB＝2，∠ABC＝60°，求AC的长． 【分析】（1）若要证明AE＝CA，则可转化为证明△AEB≌△CAD即可； （2）由AC⊥AB，可得△BAC是直角三角形，因为∠ABC＝60°，所以∠ACB＝30°，利用在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出BC的长，根据勾股定理即可求出AC的长． 【解答】解：（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC， ∴∠BAD＝∠ABE， ∵AB＝CD， ∴∠BAD＝∠D， ∴∠ABE＝∠D， 在△AEB和△CAD中， ， ∴△AEB≌△CAD（SAS）， ∴AE＝CA； （2）∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴BC＝2AB＝4， 在Rt△ABC中，由勾股定理可求得． 【点评】本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用和含30度角的直角三角形的性质，是重点内容，要熟练掌握． 24．（4分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形． （1）使三角形三边长为3，，； （2）使平行四边形有一锐角为45°，且面积为4． 【分析】（1）本题中实际上是长为2宽为2的正方形的对角线长，实际上是长为2宽为1的矩形的对角线的长，据此可找出所求的三角形； （2）可先找出一个直角边为2的等腰直角三角形，然后据此画出平行四边形． 【解答】解：（1） 三角ABC为所求； （2） 四边形DEFG为所求． 【点评】关键是确定三角形的边长，然后根据边长画出所求的三角形． 25．（7分）甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打多少个字？ 李明同学是这样解答的： 设甲同学打印一篇3 000字的文章需要x分钟， 根据题意，得（1） 解得：x＝50． 经检验x＝50是原方程的解．（2） 答：甲同学每分钟打字50个，乙同学每分钟打字38个．（3） （1）请从（1）、（2）、（3）三个步骤说明李明同学的解答过程是否正确，若有不正确的步骤改正过来． （2）请你用直接设未知数列方程的方法解决这个问题． 【分析】若设直接未知数的话，应根据所用时间相同来列等量关系．等量关系为：甲打一篇3000字的文章时间＝乙打﹣篇2400字的文章所用的时间． 【解答】解：（1）李明同学的解答过程中第（3）步不正确． 应为：甲每分钟打字（个）． 乙每分钟打字60﹣12＝48（个）． 答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为48个． （2）设乙每分钟打字x个，则甲每分钟打字（x+12）个． 根据题意得：． 解得：x＝48． 经检验：x＝48是原方程的解． ∴甲每分钟打字x+12＝48+12＝60（个）． 答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为48个． 【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．在一般情况下，设直接未知数步骤少，也少出差错．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工效． 26．（6分）在学校组织的“文明出行”的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次竞赛中二班成绩在C级以上（包括C级）的人数为　21　； （2）请你将表格补充完整： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 87.6 90 　90　 二班 87.6 　80　 100 （3）请从下列不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析： ①从平均数和中位数的角度来比较一班和二班的成绩； ②从平均数和众数的角度来比较一班和二班的成绩． 【分析】（1）先求出B所占的百分比，再根据图形求出总人数，再用总人数×二班成绩在C级以上（包括C级）的人数所占百分比即可； （2）根据总人数和它在扇形统计图中所占的百分比求出各个等级的人数，按找中位数和众数的方法得出中位数和众数； （3）从中位数和平均数的角度结合（1）（2）的计算结果分析即可． 【解答】解：（1）根据统计图可得： B级所占的百分比是：1﹣44%﹣16%﹣36%＝4%， 总人数是：6+12+2+5＝25， 竞赛中二班成绩在C级以上（包括C级）的人数为25×（44%+4%+36%）＝21（人）； 故答案为：21． （2）根据图形可得： 一班数据90出现12次，出现次数最多，所以众数为90， 二班100分的有25×44%＝11人， 90分的有25×4%＝1人， 80分的有25×36%＝9人， 70分的有25×16%＝4人， 按从小到大顺序排列，中位数为80； 平均数（ 分） 中位数（ 分） 众数（ 分） 一班 87.6 90 90 二班 87.6 80 100 故答案为：90，80． （3）①从平均数的角度看两班成绩一样，从中位数的角度看一班比二班的成绩好，所以一班成绩好； ②从平均数的角度看两班成绩一样，从众数的角度看二班比一班的成绩好，所以二班成绩好； ③从B级以上（包括B级）的人数的角度看，一班人数是18人，二班人数是12人，所以一班成绩好． 【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 27．（7分）如图，直线y＝kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与反比例函数y＝（m+5）x2m+1的图象交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限． （1）求此反比例函数的解析式及B点的坐标； （2）若△AOB的面积为2，求A点的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据双曲线函数的定义可以确定m的值；利用y＝kx+2k当y＝0时，x＝﹣2就知道B的坐标； （2）根据（1）知道OB＝2，而S△AOB＝2，利用它们可以求出A的坐标； （3）存在点P，使△AOP是等腰三角形．只是确定P坐标时，题目没有说明谁是腰，是底，所以要分类讨论，不要漏解． 【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（m+5）x2m+1 ∴m＝﹣1 ∴反比例函数的解析式为 由y＝kx+2k可知B点的坐标为（﹣2，0）； （2）∵△AOB的面积为2， 可求出点A的纵坐标为2， ∴点A的坐标为（2，2）； （3）当AP1⊥x轴，AP1＝OP1， ∴P1（2，0）， 当AO＝AP2， ∴P2（4，0）， 当AO＝OP3， ∴P3（﹣2，0）， 当AO＝OP4， ∴P4（2，0）， 则P点的坐标为：P1（2，0），P2（4，0），P3（﹣2，0），P4（2，0）． 【点评】此题考查了反比例函数的定义确定函数的解析式，也考查了利用函数的性质确定点的坐标，最后考查了根据图形变换求点的坐标． 28．（7分）如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F． （1）求证：DE﹣BF＝EF； （2）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）； （3）若AB＝2a，点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论． 【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得DA＝AB，再根据同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADE，然后利用“角角边”证明△ABF和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等可得BF＝AE，AF＝DE，然后根据图形列式整理即可得证； （2）根据题意作出图形，然后根据（1）的结论可得BF＝AE，AF＝DE，然后结合图形写出结论即可； （3）根据中点定义求出BG，再利用勾股定理列式求出AG的长，然后利用△ABG的面积列式求出BF的长，再根据勾股定理列式求出FG的长，然后求出AF、AE、BF的长，再表示出EF的长，从而得解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG， ∴DA＝AB，∠BAF+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE， 在△ABF和△DAE中，， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴DE﹣BF＝AF﹣AE＝EF； （2）解：如图②，DE+BF＝EF； （3）解：EF＝2FG．理由如下： ∵AB＝2a，点G为BC边中点， ∴BG＝a， 根据勾股定理得，AG＝＝＝a， 又∵AB⊥BC，BF⊥AG， ∴S△ABG＝×a•BF＝•2a•a， ∴BF＝a， 根据勾股定理得，FG＝＝＝a， ∴AF＝AG﹣FG＝a﹣a＝a， ∵AE＝BF＝a， ∴EF＝AG﹣AE﹣FG＝a﹣a﹣a＝a， ∴EF＝2FG． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记正方形的四条边都相等，每一个角都是直角，然后求出三角形全等是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/5/19 19:44:46；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111 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