2018届中考数学提升练习：专题（三） 数式规律型问题.doc

专题提升(三)　数式规律型问题 【经典母题】 观察下列各式： 52＝25； 152＝225； 252＝625； 352＝1 225； … 你能口算末位数是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由． 解：把末位数是5的自然数表示成10a＋5的一般形式，其中a为自然数， 则(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25＝100a(a＋1)＋25， 因此在计算末位数是5的自然数的平方时，只要把100a与a＋1相乘，并在积的后面加上25即可得到结果． 【思想方法】　模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之一． 【中考变形】 1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果： 3－2＝1； 8＋7－6－5＝4； 15＋14＋13－12－11－10＝9； 24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16； … 根据以上规律可知第10行左起第1个数是 (　C　) A．100 B．121 C．120 D．82 【解析】 根据规律可知第10行等式的右边是102＝100，等式左边有20个数加减．∵这20个数是120＋119＋118＋…＋111－110－109－108－…－102－101，∴左起第1个数是120. 2．[2016·邵阳]如图Z3－1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是 (　B　) 图Z3－1 A．y＝2n＋1 B．y＝2n＋n C．y＝2n＋1＋n D．y＝2n＋n＋1 【解析】 ∵观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，…，n，右边三角形的数字规律为21，22…，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n＋2n，∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y＝2n＋n.[来源:学§科§网] 3．[2018·中考预测]根据图Z3－2中箭头的指向规律，从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是下列选项中的 (　D　)[来源:学科网ZXXK] 图Z3－2 【解析】 由图可知，每4个数为一个循环组依次循环， 2 017÷4＝504……1， ∴2 017是第505个循环组的第2个数， ∴从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是. 故选D. 图Z3－3 4．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图Z3－3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…则第6次应拿走 (　D　) A．②号棒 B．⑦号棒 C．⑧号棒 D．⑩号棒 【解析】 仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒． 5．[2017·烟台]用棋子摆出下列一组图形(如图Z3－4)： 图Z3－4 按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为 (　D　) A．3n B．6n C．3n＋6 D.3n＋3 【解析】 ∵第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子3×2＋3＝9；第3个图需棋子3×3＋3＝12；…∴第n个图需棋子(3n＋3)个． 6．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…以此类推，那么第9个三角形数是__45__，2 016是第__63__个三角形数． 【解析】 根据所给的数据发现：第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n，则第9个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；由1＋2＋3＋4＋…＋n＝ 2 016，得＝2 016，解得n＝63(负数舍去)． 7．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1.如：第1位同学报，第2位同学报，第3位同学报，…这样得到的100个数的积为__101__. 【解析】 ∵第1位同学报的数为＋1＝，第2位同学报的数为＋1＝，第3位同学报的数为＋1＝，… ∴第100位同学报的数为＋1＝， ∴这样得到的100个数的积＝×××…×＝101. 8．[2017·潍坊]如图Z3－5，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为__9n＋3__． 图Z3－5 【解析】 ∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝6＋6＝12＝9＋3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝11＋10＝21＝9×2＋3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝16＋14＝30＝9×3＋3，…∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和＝9n＋3. 9．观察下列等式： 第一个等式：a1＝＝－1； 第二个等式：a2＝＝－； 第三个等式：a3＝＝2－； 第四个等式：a4＝＝－2； … 按上述规律，回答以下问题： (1)用含n的代数式表示第n个等式：an＝ ＝－ ； (2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝__－1__ 【解析】 a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－1)＋(－)＋(2－)＋(－2)＋…＋(－)＝－1. 10．[2016·山西]如图Z3－6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有__4n＋1__个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示)． 图Z3－6 【解析】 由图可知，涂有阴影的小正方形有5＋4(n－1)＝4n＋1(个)． 11．如图Z3－7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n个图案中有__5n＋1__根小棒． 图Z3－7 【解析】 ∵第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有6＋5×1＝11根小棒，第3个图案中有6＋5×2＝16根小棒，…∴第n个图案中有6＋5(n－1)＝5n＋1根小棒． 12．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Z3－8所示． 由图易得＋＋＋…＋＝__1－__. 图Z3－8 13．[2016·安徽](1)观察图Z3－9中的图形与等式的关系，并填空： 图Z3－9[来源:Z.xx.k.Com] 【解析】 1＋3＋5＋7＝16＝42，观察，发现规律：1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…∴1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2. (2)观察图Z3－10，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：[来源:Zxxk.Com] 图Z3－10 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋__2n＋1__＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝__2n2＋2n＋1__． 【解析】 观察图形发现：图中黑球可分为三部分，1到n行，第n＋1行，n＋2行到2n＋1行，即1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋[2(n＋1)－1]＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝n2＋2n＋1＋n2＝2n2＋2n＋1. 【中考预测】 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图Z3－11方式进行拼接． (1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ (2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？[来源:Zxxk.Com] 图Z3－11 解：(1)把4张餐桌拼起来能坐4×4＋2＝18(人)； 把8张餐桌拼起来能坐4×8＋2＝34(人)； (2)设这样的餐桌需要x张，由题意，得4x＋2＝90， 解得x＝22. 答：这样的餐桌需要22张．