专题提升(六)一次函数与反比例函数的综合【经典母题】如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．【解析】利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．解：设反比例函数的表达式为y＝， 一个端点B的坐标为(80，10)，∴k＝80×10＝800，∴反比例函数的表达式为y＝. 端点A的纵坐标为80，∴80＝，x＝10，∴点A的横坐标为10，∴自变量的取值范围为10≤x≤80.【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可．【中考变形】1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象有一个公共点A(1，2)．(1)求这两个函数的表达式；(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．图Z6－2中考变形1答图图Z6－1解：(1)把A(1，2)代入y＝ax，得2＝a，即y＝2x；把A(1，2)代入y＝，得b＝2，即y＝；(2)画草图如答图所示．由图象可知，当x＞1或－1＜x＜0时，正比例函数值大于反比例函数值．2．如图Z6－3，已知一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内P，Q(4，m)两点，与x轴交于A点．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)写出点P关于原点的对称点P′的坐标；(3)求∠P′AO的正弦值．图Z6－3【解析】①将P点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q点代入反比例函数关系式，即可求出m的值；将P，Q两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P′的坐标；③过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D，可构造出′AD，又 点A在一次函数的图象上，∴可求出点A坐标，得到OA长度，利用P′点坐标，可以求出P′D，P′A，即可得到∠P′AO的正弦值．解：(1) 点P在反比例函数的图象上，∴把点P代入y＝，得k2＝4，∴反比例函数的表达式为y＝，∴Q点坐标为(4，1)．[来源:学科网ZXXK]把P，Q(4，1)分别代入y＝k1x＋b中，得解得∴一次函数的表达式为y＝－2x＋9；(2)P′；(3)如答图，过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D. P′，中考变形2答图∴OD＝，P′D＝8. 点A在y＝－2x＋9的图象上，∴点A坐标为，即OA＝，∴DA＝5，∴P′A＝＝.∴sin∠P′AD＝＝＝.∴sin∠P′AO＝.3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面...
