2018届中考数学提升练习：专题(六) 一次函数与反比例函数的综合.doc

专题提升(六)　一次函数与反比例函数的综合 【经典母题】 如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围． 图Z6－1 【解析】 利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式． 解：设反比例函数的表达式为y＝， ∵一个端点B的坐标为(80，10)， ∴k＝80×10＝800， ∴反比例函数的表达式为y＝. ∵端点A的纵坐标为80， ∴80＝，x＝10， ∴点A的横坐标为10， ∴自变量的取值范围为10≤x≤80. 【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可． 【中考变形】 1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象有一个公共点A(1，2)． (1)求这两个函数的表达式； (2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 图Z6－2 　中考变形1答图 解：(1)把A(1，2)代入y＝ax，得2＝a， 即y＝2x； 把A(1，2)代入y＝，得b＝2，即y＝； (2)画草图如答图所示． 由图象可知，当x＞1或－1＜x＜0时，正比例函数值大于反比例函数值． 2．如图Z6－3，已知一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内P，Q(4，m)两点，与x轴交于A点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)写出点P关于原点的对称点P′的坐标； (3)求∠P′AO的正弦值． 图Z6－3 【解析】①将P点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q点代入反比例函数关系式，即可求出m的值；将P，Q两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式． ②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P′的坐标； ③过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D，可构造出′AD，又∵点A在一次函数的图象上，∴可求出点A坐标，得到OA长度，利用P′ 点坐标，可以求出P′D，P′A，即可得到∠P′AO的正弦值． 解：(1)∵点P在反比例函数的图象上， ∴把点P代入y＝，得k2＝4， ∴反比例函数的表达式为y＝，∴Q 点坐标为(4，1)．[来源:学科网ZXXK] 把P，Q(4，1)分别代入y＝k1x＋b中， 得解得 ∴一次函数的表达式为y＝－2x＋9； (2)P′； (3)如答图，过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D. ∵P′， 中考变形2答图 ∴OD＝，P′D＝8. ∵点A在y＝－2x＋9的图象上， ∴点A坐标为，即OA＝， ∴DA＝5，∴P′A＝＝. ∴sin∠P′AD＝＝＝. ∴sin∠P′AO＝. 3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A(a，－2)，B两点． (1)求反比例函数表达式和点B的坐标； (2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连结PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标． 图Z6－4 　　 中考变形3答图 解：(1)∵点A(a，－2)在正比例函数y＝x图象上， ∴－2＝a，∴a＝－4， ∴点A坐标为(－4，－2)． 又∵点A在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝xy＝－4×(－2)＝8， ∴反比例函数的表达式为y＝. ∵A，B既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上， ∴A，B两点关于原点O中心对称， ∴点B的坐标为(4，2)； (2)如答图，设点P坐标为(a＞0)，∵PC∥y轴，点C在直线y＝x上， ∴点C的坐标为， ∴PC＝＝， ∴S△POC＝PC·a＝·a＝＝3， 当＝3时，解得a＝＝2， ∴P. 当＝－3时，解得a＝2，∴P(2，4)． 综上所述，符合条件的点P的坐标为，(2，4)． 4．如图Z6－5，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式； (3)P是x轴上的一个动点，试确定点P并求出它的坐标，使得PA＋PB最小． 图Z6－5 解：(1)∵点A(1，4)在函数y＝上， ∴m＝xy＝4，∴反比例函数的表达式为y＝； (2)把B(4，n)代入y＝，4＝xy＝4n，得n＝1， ∴B(4，1)， ∵直线y＝kx＋b经过A，B， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x＋5； (3)点B关于x轴的对称点为B′(4，－1)， 设直线AB′的表达式为y＝ax＋q， ∴解得 ∴直线AB′的表达式为y＝－x＋， 令y＝0，解得x＝， ∴当点P的坐标为时，PA＋PB最小． 5．[2017·广安]如图Z6－6，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B， 图Z6－6 且OB＝6. (1)求函数y＝和y＝kx＋b的表达式． (2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内，求反比例函数y＝的图象上一点P，使得S△POC＝9. 解：(1)∵点A(4，2)在反比例函数y＝的图象上，[来源:Z*xx*k.Com] ∴m＝4×2＝8， ∴反比例函数的表达式为y＝. ∵点B在y轴的负半轴上，且OB＝6， ∴点B的坐标为(0，－6)， 把点A(4，2)和点B(0，－6)代入y＝kx＋b中， 得解得[来源:Z*xx*k.Com] ∴一次函数的表达式为y＝2x－6； (2)设点P的坐标为(n＞0)． 在直线y＝2x－6上，当y＝0时，x＝3， ∴点C的坐标为(3，0)，即OC＝3， ∴S△POC＝×3×＝9，解得n＝. ∴点P的坐标为. 6．[2017·黄冈]如图Z6－7，一次函数y＝－2x＋1与反比例函数y＝的图象有两个交点A(－1，m)和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为E；过点B作BD⊥y轴，垂足为D，且点D的坐标为(0，－2)，连结DE. (1)求k的值； (2)求四边形AEDB的面积． 图Z6－7 　中考变形6答图 解：(1)将点A(－1，m)代入一次函数y＝－2x＋1， 得－2×(－1)＋1＝m，解得m＝3. ∴A点的坐标为(－1，3)． 将A(－1，3)代入y＝，得k＝(－1)×3＝－3； (2)如答图，设直线AB与y轴相交于点M，则点M的坐标为(0，1)， ∵D(0，－2)，则点B的纵坐标为－2，代入反比例函数，得DB＝， ∴MD＝3. 又∵A(－1，3)，AE∥y轴， ∴E(－1，0)，AE＝3. ∴AE∥MD，AE＝MD. ∴四边形AEDM为平行四边形． ∴S四边形AEDB＝S▱AEDM＋S△MDB ＝3×1＋××3＝. 7．[2016·金华]如图Z6－8，直线y＝x－与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.[来源:Zxxk.Com] (1)求点A的坐标； (2)若AE＝AC，①求k的值； ②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由． 图Z6－8 中考变形7答图 解：(1)当y＝0时，得0＝x－，解得x＝3. ∴点A的坐标为(3，0)； (2)①如答图，过点C作CF⊥x轴于点F.设AE＝AC＝t，点E的坐标是(3，t)，则反比例函数y＝可表示为y＝. ∵直线y＝x－交y轴于点B， ∴B(0，－)． 在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝， ∴∠OAB＝30°. 在Rt△ACF中，∠CAF＝30°， ∴CF＝t，AF＝AC·cos30°＝t， ∴点C的坐标是. ∴×t＝3t， 解得t1＝0(舍去)，t2＝2.[来源:学科网] ∴k＝3t＝6. ②点E的坐标为， 设点D的坐标是， ∴x＝6，解得x1＝6(舍去)，x2＝－3， ∴点D的坐标是， ∴点E与点D关于原点O成中心对称． 【中考预测】 如图Z6－9，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求两函数图象的另一个交点的坐标； (3)直接写出不等式kx＋b≤的解集． 图Z6－9 解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝6， ∴OB＝6，OA＝3，OD＝2， ∵CD⊥DA，∴DC∥OB， ∴＝，∴＝， ∴DC＝10， ∴C(－2，10)，B(0，6)，A(3，0)， 代入一次函数y＝kx＋b， 得解得 ∴一次函数的表达式为y＝－2x＋6. ∵反比例函数y＝经过点C(－2，10)， ∴n＝－20， ∴反比例函数的表达式为y＝－； (2)由解得或 ∴另一个交点坐标为(5，－4)； (3)由图象可知kx＋b≤的解集为－2≤x＜0或x≥5.