2010-2011学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷.doc

馨雅资源网 2010-2011学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x＜5 C．x≥5 D．x≤5 2．（5分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　） A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2， 3．（5分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（　　） A．y＝﹣3x B．y＝﹣x+4 C． D． 4．（5分）对角线相等且互相平分的四边形一定是（　　） A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 5．（5分）已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜10 B．m＝10 C．m＞10 D．m≥10 6．（5分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠DBC＝30°，AD＝5，则BC等于（　　） A．5 B．7.5 C． D．10 7．（5分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3 8．（5分）图为在某居民小区中随机调查的10户家庭一年的月均用水量（单位：t）的条形统计图，则这10户家庭月均用水量的众数和中位数分别是（　　） A．6.5，6.5 B．6.5，7 C．7，7 D．7，6.5 9．（5分）如图，点M，N在反比例函数（x＞0）的图象上，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，且四边形OBMA是正方形，四边形ODNC是矩形，CN与MB交于点E，下列说法中不正确的是（　　） A．正方形OBMA的面积等于矩形ODNC的面积 B．点M的坐标为（6，6） C．矩形ODNC的面积为6 D．矩形CEMA的面积等于矩形BDNE的面积 10．（5分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分） 11．（2分）若，则x﹣y的值为　 　． 12．（2分）在“2011年北京郁金香文化节”中，北京国际鲜花港的3×106株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为n（单位：株/平方米），总种植面积为S（单位：平方米），则n与S的函数关系式为　 　．（不要求写出自变量S的取值范围） 13．（2分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝120°，BD＝8，则AB的长为　 　． 14．（2分）点A（2，3）在反比例函数的图象上，当1≤x≤3时，y的取值范围是　 　． 15．（2分）菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，顺次连接菱形ABCD各边的中点所得四边形的面积为　 　． 16．（2分）若关于x的方程x2+mx﹣12＝0的一个根是4，则m＝　 　，此方程的另一个根是　 　． 17．（2分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，点E 在AB边上，将△EBC沿EC所在直线折叠，使点B落在AD边上的点B′处，则AE的长为　 　cm． 18．（2分）正方形网格中，每个小正方形的边长为1．图1所示的矩形是由4个全等的直角梯形拼接而成的（图形的各顶点都在格点上；拼接时图形互不重叠，不留空隙），如果用这4个直角梯形拼接成一个等腰梯形，那么 （1）仿照图1，在图2中画出一个拼接成的等腰梯形； （2）这个拼接成的等腰梯形的周长为 12+2． 三、解答题（共2小题，满分16分） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 20．（8分）解方程： （1）x2﹣3x＝7+x； （2）2x（x﹣1）＝3（1﹣x）． 四、解答题（本题共21分，第21题6分，第22、23、24题每题5分） 21．（6分）已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF＝CD，连接BF交AD于点E． （1）求证：AE＝ED； （2）若AB＝BC，求∠CAF的度数． 22．（5分）甲，乙两人是NBA联盟凯尔特人队的两位明星球员，两人在前五个赛季的罚球命中率如下表所示： 甲球员的命中率（%） 87 86 83 85 79 乙球员的命中率（%） 87 85 84 80 84 （1）分别求出甲，乙两位球员在前五个赛季罚球的平均命中率； （2）在某场比赛中，因对方球员技术犯规需要凯尔特人队选派一名队员进行罚球，你认为甲，乙两位球员谁来罚球更好？（请通过计算说明理由） 23．（5分）为了增强员工的团队意识，某公司决定组织员工开展拓展活动．从公司到拓展活动地点的路程总长为126千米，活动的组织人员乘坐小轿车，其他员工乘坐旅游车同时从公司出发，前往拓展活动的目的地．为了在员工们到达之前做好活动的准备工作，小轿车决定改走高速公路，路程比原路线缩短了18千米，这样比按原路线行驶的旅游车提前24分钟到达目的地．已知小轿车的平均速度是旅游车的平均速度的1.2倍，求这两种车平均每小时分别行驶多少千米． 24．（5分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝8，DC＝10，点M是AB边的中点． （1）求证：CM⊥DM； （2）求点M到CD边的距离． 五、解答题（本题共17分，第25题6分，第26题5分，第27题6分） 25．（6分）已知：如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，4）和点B（﹣4，﹣2）． （1）求一次函数y＝ax+b和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 26．（5分）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠ADE＝90°，点M为EC的中点． （1）如图，当点D，E分别在AC，AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形； （2）如图，将图中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时问题（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明． 27．（6分）已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线y＝﹣+b交折线O﹣A﹣B于点E． （1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA点N，E．求证：四边形DMEN是菱形； （3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为　 　． 2010-2011学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x＜5 C．x≥5 D．x≤5 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求范围． 【解答】解：根据题意得：x﹣5≥0 解得：x≥5 故选：C． 【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2．（5分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　） A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2， 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∵62+82＝100＝102，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵82+152＝289＝172，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵12+（）2＝4＝22，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵22+22＝8≠（2）2，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 3．（5分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（　　） A．y＝﹣3x B．y＝﹣x+4 C． D． 【分析】根据一次函数，反比例函数的增减性，分别将这些函数的性质及自变量的取值范围，逐一判断． 【解答】解：A、y＝﹣3x，正比例函数，k＝﹣3＜0，y随着x的增大而减小，故此选项错误； B、y＝﹣x+4，一次函数，k＝﹣1＜0，y随着x的增大而减小，故此选项错误； C、y＝﹣，反比例函数，k＝﹣5＜0，当x＞0时，在第四象限内y随x的增大而增大，故此选项正确； D、y＝，反比例函数，k＝＞0，当x＞0时，在第一象限内y随x的增大而减小，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题考查了一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目，综合应用它们的性质是解决问题的关键． 4．（5分）对角线相等且互相平分的四边形一定是（　　） A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定与矩形的判定定理，即可求得答案． 【解答】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形， ∴对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形． 故选：B． 【点评】此题考查了平行四边形，矩形，菱形以及等腰梯形的判定定理．此题比较简单，解题的关键是熟记定理． 5．（5分）已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜10 B．m＝10 C．m＞10 D．m≥10 【分析】根据关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则△＞0，列出不等式，即可求出m的取值范围． 【解答】解：方程有两个不相等的实数根， ∴△＝36﹣4（m﹣1）＞0， 解得m＜10． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根； 据此即可把求未知系数的问题转化为解不等式的问题． 6．（5分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠DBC＝30°，AD＝5，则BC等于（　　） A．5 B．7.5 C． D．10 【分析】根据平行线的性质推出∠ADB＝∠ABD，得到AD＝AB＝CD，根据等腰梯形的性质求出∠C＝60°，根据三角形的内角和定理求出∠BDC，根据直角三角形性质求出即可． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AD＝AB＝CD， ∵AD∥BC，AB＝CD， ∴∠C＝∠ABC＝2∠DBC＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝90°， ∴BC＝2AD＝10， 故选：D． 【点评】本题主要考查对等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出∠BDC＝90°是解此题的关键． 7．（5分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，“配方”一步． 【解答】解：x2﹣4x+1＝0 移项得，x2﹣4x＝﹣1， 两边加4得，x2﹣4x+4＝﹣1+4， 即：（x﹣2）2＝3． 故选：C． 【点评】此题最重要的一步是在等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 8．（5分）图为在某居民小区中随机调查的10户家庭一年的月均用水量（单位：t）的条形统计图，则这10户家庭月均用水量的众数和中位数分别是（　　） A．6.5，6.5 B．6.5，7 C．7，7 D．7，6.5 【分析】根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量，然后根据中位数和众数的概念进行求解． 【解答】解：∵在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是6.5， ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5， 有 ， ∴这组数据的中位数是6.5， 故选：A． 【点评】本题主要考查了条形统计图的运用及中位数和众数的计算方法，难度适中． 9．（5分）如图，点M，N在反比例函数（x＞0）的图象上，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，且四边形OBMA是正方形，四边形ODNC是矩形，CN与MB交于点E，下列说法中不正确的是（　　） A．正方形OBMA的面积等于矩形ODNC的面积 B．点M的坐标为（6，6） C．矩形ODNC的面积为6 D．矩形CEMA的面积等于矩形BDNE的面积 【分析】根据过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|，即可得出四边形OBMA和四边形ODNC的面积，进而得出M点的坐标以及各部分的面积． 【解答】解：由点M，N在反比例函数（x＞0）的图象上， 四边形OBMA是正方形，四边形ODNC是矩形， A、∵过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|， ∴正方形OBMA的面积等于矩形ODNC的面积等于6，故此选项正确； B、∵四边形OBMA是正方形，AM＝BM，AM×BM＝6， ∴AM＝BM＝， ∴点M的坐标为（，），故此选项错误； C、由以上可知，矩形ODNC的面积为6，故此选项正确； D、∵正方形OBMA的面积等于矩形ODNC的面积等于6，都减去四边形COBE仍然相等，故此选项正确． 故选：B． 【点评】此题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 10．（5分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由四边形ABCD是正方形可以得出AB＝BC＝CD＝AD，∠1＝∠2＝45°，作PH⊥AB于H，可以得出四边形BEPH为正方形，可以得出AH＝CE，由条件可以得出四边形PECF是矩形，就有CE＝PF，利用三角形全等可以得出AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，由勾股定理可以得出PD＝PF，可以得出PD＝EC，点P在BD上要使△APD一定是等腰三角只有AP＝AD、PA＝PD或DA＝DP时才成立，故可以得出答案． 【解答】解：作PH⊥AB于H， ∴∠PHB＝90°， ∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴∠PEB＝∠PEC＝∠PFC＝90°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠1＝∠2＝∠BDC＝45°，∠ABC＝∠C＝90°， ∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE＝BE，DF＝PF， ∴四边形BEPH为正方形， ∴BH＝BE＝PE＝HP， ∴AH＝CE， ∴△AHP≌△FPE， ∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP， 故①、②正确， 在Rt△PDF中，由勾股定理，得 PD＝PF， ∴PD＝CE． 故③正确． ∵点P在BD上， ∴当AP＝AD、PA＝PD或DA＝DP时△APD是等腰三角形． ∴△APD是等腰三角形只有三种情况． 故④错误， ∴正确的个数有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，正方形的判定，矩形的性质，勾股定理的运用，全等三角形的运用等多个知识点． 二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分） 11．（2分）若，则x﹣y的值为　﹣5　． 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后再代入代数式计算即可求解． 【解答】解：根据题意得，x+2＝0，y﹣3＝0， 解得x＝﹣2，y＝3， ∴x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了平方数，绝对值非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式求解是解题的关键． 12．（2分）在“2011年北京郁金香文化节”中，北京国际鲜花港的3×106株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为n（单位：株/平方米），总种植面积为S（单位：平方米），则n与S的函数关系式为　　．（不要求写出自变量S的取值范围） 【分析】根据总种植面积＝平均每平方米种植的数量为n×郁金香的总数量，结合题意可得出n与s的关系． 【解答】解：由题意得：郁金香的总数量为3×106株，平均每平方米种植的数量为n，总种植面积为S， ∴可得：n＝． 故答案为：n＝． 【点评】本题考查根据实际问题列反比例函数的关系式，属于应用题，难度一般，解答本题的关键是找到n、s与郁金香总数量之间的关系． 13．（2分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝120°，BD＝8，则AB的长为　4　． 【分析】根据矩形的对角线的性质可得△AOB为等边三角形，由等边三角形的性质即可求出AB的值． 【解答】解：∵ABCD是矩形， ∴OA＝OB． ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°． ∴△AOB为等边三角形． ∵BD＝8， ∴AB＝BO＝4． 故答案为4． 【点评】本题考查矩形对角线相等平分的性质以及等边三角形的运用． 14．（2分）点A（2，3）在反比例函数的图象上，当1≤x≤3时，y的取值范围是　2≤y≤6　． 【分析】首先根据点A（2，3）在反比例函数的图象上，求出系数k的值，可得y＝，然后根据1≤x≤3，进而求出y的取值范围． 【解答】解：∵点A（2，3）在反比例函数的图象上， ∴3＝， 解得k＝6， ∴y＝， ∵1≤x≤3， ∴2≤y≤6． 故答案为2≤y≤6． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质，解答本题的关键是求出反比例函数的系数k的值，还要熟练掌握解不等式的知识点，此题基础题，比较简单． 15．（2分）菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，顺次连接菱形ABCD各边的中点所得四边形的面积为　　． 【分析】顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，所以可得矩形的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝60°， ∴菱形的一条对角线长是2，另一个对角线的长是2 ． ∵矩形的边长分别是菱形对角线的一半 ∴矩形的边长分别是1，，1，． ∴矩形的面积是． 即顺次连接菱形ABCD各边中点所得的四边形的面积为 ． 故应填：． 【点评】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质等知识．注意准确掌握菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半． 16．（2分）若关于x的方程x2+mx﹣12＝0的一个根是4，则m＝　﹣1　，此方程的另一个根是　﹣3　． 【分析】根据一元二次方程的解定义，将x＝4代入关于x的方程x2+mx﹣12＝0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2＝﹣解出方程的另一个根． 【解答】解：根据题意，得 16+4m﹣12＝0，即4m+4＝0， 解得，m＝﹣1； 由韦达定理，知 x1+x2＝﹣m； ∴4+x2＝1， 解得，x2＝﹣3． 故答案是：﹣1、﹣3． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2＝﹣、x1•x2＝来计算时，要弄清楚a、b、c的意义． 17．（2分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，点E 在AB边上，将△EBC沿EC所在直线折叠，使点B落在AD边上的点B′处，则AE的长为　　cm． 【分析】根据题意得出BC＝B'C，在RT△B'DC中求出B'D，继而可得出AB'，设AE＝x，则EB'＝EB＝6﹣x，在RT△ABB'可解出x的值． 【解答】解：设AE＝x，则EB'＝EB＝6﹣x， 根据折叠的性质可得BC＝B'C＝10cm， 在RT△B'DC中，B'D＝＝8cm， ∴AB'＝AD﹣DB'＝2cm， 在RT△ABB'中，AE2+AB'2＝EB'2， ∴x2+4＝（6﹣x）2， 解得：x＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换的知识，属于数形结合的题目，难度一般，解答本题的关键是根据折叠的性质得出BC＝B'C，两次解直角三角形可得出答案． 18．（2分）正方形网格中，每个小正方形的边长为1．图1所示的矩形是由4个全等的直角梯形拼接而成的（图形的各顶点都在格点上；拼接时图形互不重叠，不留空隙），如果用这4个直角梯形拼接成一个等腰梯形，那么 （1）仿照图1，在图2中画出一个拼接成的等腰梯形； （2）这个拼接成的等腰梯形的周长为 12+2． 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）求出AD、AB、CD、BC的长，即可求出答案． 【解答】解：（1） 如图直角梯形AGHB、GHRQ、QRFE、EFCD组成等腰梯形ABCD． （2）根据题意得到：AG＝5，BC＝7，AB＝CD＝＝， ∴等腰梯形的周长是5+7+2＝12+2． 故答案为：12+2． 【点评】本题主要考查对等腰梯形的性质，直角梯形，勾股定理等知识点的理解和掌握，能正确画出图形是解此题的关键． 三、解答题（共2小题，满分16分） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把二次根式化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式化简分母，再把分子去括号，二次根式的运算结果要化为最简二次根式． 【解答】（1）解： ＝ ＝ ＝； （2）解： ＝ ＝ ＝． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 20．（8分）解方程： （1）x2﹣3x＝7+x； （2）2x（x﹣1）＝3（1﹣x）． 【分析】（1）整理后求出b2﹣4ac的值，代入x＝进行计算即可； （2）移项后分解因式得到（x﹣1）（2x+3）＝0，推出方程x﹣1＝0或2x+3＝0，求出方程的解即可． 【解答】（1）解：原方程变为：x2﹣4x﹣7＝0， a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7， ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）＝44， ∴＝， 即， ∴原方程的根为，． （2）解：移项得：2x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0， 因式分解，得 （x﹣1）（2x+3）＝0， ∴x﹣1＝0或2x+3＝0， 解得 x1＝1，． 【点评】本题主要考查对解一元一次方程，解一元二次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 四、解答题（本题共21分，第21题6分，第22、23、24题每题5分） 21．（6分）已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF＝CD，连接BF交AD于点E． （1）求证：AE＝ED； （2）若AB＝BC，求∠CAF的度数． 【分析】（1）证明四边形ABDF是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论； （2）首先证明四边形ABCD是菱形，再用菱形的性质可得到AC⊥BD，再根据两直线平行，同位角相等得到∠CAF＝∠COD＝90°． 【解答】（1）证明：如图． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD． ∵DF＝CD， ∴AB∥DF． ∵DF＝CD， ∴AB＝DF． ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AE＝DE． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形． ∴AC⊥BD． ∴∠COD＝90°． ∵四边形ABDF是平行四边形， ∴AF∥BD． ∴∠CAF＝∠COD＝90°． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法与性质． 22．（5分）甲，乙两人是NBA联盟凯尔特人队的两位明星球员，两人在前五个赛季的罚球命中率如下表所示： 甲球员的命中率（%） 87 86 83 85 79 乙球员的命中率（%） 87 85 84 80 84 （1）分别求出甲，乙两位球员在前五个赛季罚球的平均命中率； （2）在某场比赛中，因对方球员技术犯规需要凯尔特人队选派一名队员进行罚球，你认为甲，乙两位球员谁来罚球更好？（请通过计算说明理由） 【分析】（1）根据平均数的定义求解即可； （2）要想求出甲，乙两位球员谁来罚球更好，只要比较二者的方差即可，方差越大，稳定性也越小；反之，稳定性越好． 【解答】解：（1）， ． 所以甲，乙两位球员罚球的平均命中率都为84%． （2）， ． 由，s甲2＞s乙2可知， 乙球员的罚球命中率比较稳定，建议由乙球员来罚球更好． 【点评】本题考查了平均数的求法以及方差公式，s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 23．（5分）为了增强员工的团队意识，某公司决定组织员工开展拓展活动．从公司到拓展活动地点的路程总长为126千米，活动的组织人员乘坐小轿车，其他员工乘坐旅游车同时从公司出发，前往拓展活动的目的地．为了在员工们到达之前做好活动的准备工作，小轿车决定改走高速公路，路程比原路线缩短了18千米，这样比按原路线行驶的旅游车提前24分钟到达目的地．已知小轿车的平均速度是旅游车的平均速度的1.2倍，求这两种车平均每小时分别行驶多少千米． 【分析】等量关系为：旅游车走完全程的时间﹣小轿车走高速公路所用的时间＝，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：设旅游车平均每小时行驶x千米，则小轿车平均每小时行驶1.2x千米． ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 解得x＝90．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） 经检验，x＝90是原方程的解，并且符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） ∴1.2x＝108． 答：旅游车平均每小时行驶90千米，小轿车平均每小时行驶108千米．﹣﹣﹣﹣（5分） 【点评】考查分式方程的应用；得到旅游车和小轿车所用时间的等量关系是解决本题的关键． 24．（5分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝8，DC＝10，点M是AB边的中点． （1）求证：CM⊥DM； （2）求点M到CD边的距离． 【分析】（1）延长DM，CB交于点E，证△ADM≌△BEM，推出AD＝BE＝2，DM＝EM，求出CE＝CD即可； （2）分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F，证矩形ADFB，推出AD＝BF，AB＝DF，根据勾股定理求出DF，计算出MB，根据角平分线性质求出即可． 【解答】证明：（1）延长DM，CB交于点E．（如图） ∵梯形ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADM＝∠BEM， ∵点M是AB边的中点， ∴AM＝BM． 在△ADM与△BEM中， ∠ADM＝∠BEM， ∠AMD＝∠BME， AM＝BM， ∴△ADM≌△BEM， ∴AD＝BE＝2，DM＝EM， ∴CE＝CB+BE＝8+2＝10， ∵CD＝10， ∴CE＝CD， ∵DM＝EM， ∴CM⊥DM． 解：（2）分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F．（如图） ∵CE＝CD，DM＝EM， ∴CM平分∠ECD． ∵∠ABC＝90°，即MB⊥BC， ∴MN＝MB． ∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠A＝90°， ∵∠DFB＝90°， ∴四边形ABFD是矩形， ∴BF＝AD＝2，AB＝DF， ∴FC＝BC﹣BF＝8﹣2＝6， ∵Rt△DFC中，∠DFC＝90°， ∴DF2＝DC2﹣FC2＝102﹣62＝64． ∴DF＝8， ∵M为AB中点，BM＝MN，AB＝DF， ∴MN＝MB＝AB＝DF＝4， 即点M到CD边的距离为4， 答：点M到CD边的距离是4． 【点评】本题主要考查对直角梯形，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键． 五、解答题（本题共17分，第25题6分，第26题5分，第27题6分） 25．（6分）已知：如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，4）和点B（﹣4，﹣2）． （1）求一次函数y＝ax+b和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 【分析】（1）因为A、B是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点，所以把A点、B点坐标代入反比例函数解析式，即可求出m和k的值，从而求出反比例函数的解析式和B点坐标，进而把A、B点的坐标代入一次函数y＝kx+b的解析式，就可求出a、b的值； （2）根据图象，分别观察交点的那一侧能够使一次函数的值大于反比例函数的值，从而求得x的取值范围． 【解答】解：（1）∵点B（﹣4，﹣2）在反比例函数的图象上， ∴，k＝8． ∴反比例函数的解析式为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分） ∵点A（m，4）在反比例函数的图象上， ∴，m＝2． ∵点A（2，4）和点B（﹣4，﹣2）在一次函数y＝ax+b的图象上， ∴解得 ∴一次函数的解析式为y＝x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） （2）设一次函数y＝x+2的图象与y轴交于点C， 分别作AD⊥y轴，BE⊥y轴，垂足分别为 点D，E．（如图） ∵一次函数y＝x+2，当x＝0时，y＝2， ∴点C的坐标为（0，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝＝6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （3）﹣4＜x＜0或x＞2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） 阅卷说明：第（3）问两个范围各（1分）． 【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系． 26．（5分）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠ADE＝90°，点M为EC的中点． （1）如图，当点D，E分别在AC，AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形； （2）如图，将图中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时问题（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质，推出BM＝DM，然后即可推出∠BME＝2∠BCM，∠EMD＝2∠DCM，再根据等腰直角三角形的性质，即可推出，∠BMD＝90°即可推出结论； （2）延长DM交BC于点N，通过求证△EDM≌△CNM，推出AD＝CN，推出BD＝BN，BM＝DN＝DM，即可推出BM⊥DN，便可推出“△BMD为等腰直角三角形”． 【解答】（1）证明：如图， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴∠EDC＝90°，BA＝BC， ∴∠BCA＝45°， ∵点M为EC的中点， ∴BM＝EC＝MC，DM＝EC＝MC， ∴BM＝DM， ∴∠MBC＝∠MCB，∠MDC＝∠MCD， ∴∠BME＝2∠BCM，∠EMD＝2∠DCM， ∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝2∠BCM+2∠DCM ＝2（∠BCM+∠DCM）＝2∠BCA＝2×45°＝90°， ∴△BMD为等腰直角三角形． （2）解：△BMD为等腰直角三角形．理由如下： 延长DM交BC于点N． ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴BA＝BC，DE＝DA，∠EDB＝90°， ∴∠EDB＝∠DBC， ∴ED∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∵点M为EC的中点， ∴EM＝CM， ∵在△EDM与△CNM中，∠DEM＝∠NCM，EM＝CM，∠EMD＝∠CMN， ∴△EDM≌△CNM， ∴ED＝CN，MD＝MN， ∴AD＝CN， ∴BA﹣DA＝BC﹣NC， 即BD＝BN， ∴BM＝DN＝DM， ∴BM⊥DN，即∠BMD＝90°， ∴△BMD为等腰直角三角形． 【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质的知识点的综合应用，解题关键在于熟练运用相关的性质定理推出BM＝DM，∠BMD＝90°． 27．（6分）已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线y＝﹣+b交折线O﹣A﹣B于点E． （1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA点N，E．求证：四边形DMEN是菱形； （3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为　2.5　． 【分析】（1）因为四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2），即可求出点B的坐标，把A、B、C的坐标代入解析式求出b，即可求出答案； （2）首先证明四边形DMEN是平行四边形，再证明邻边ND＝NE即可； （3）过DH⊥OE于H，根据一次函数的解析式求出OQ、OE，求出DH、HE，设ME＝x，根据勾股定理求出x即可． 【解答】解：（1）∵矩形OABC中，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）， ∴点B的坐标为（6，2）． 若直线经过点C（0，2），则b＝2； 若直线经过点A（6，0），则b＝3； 若直线经过点B（6，2），则b＝5． ①当点E在线段OA上时，即2＜b≤3时，（如图） ∵点E在直线上， 当y＝0时