2013-2014学年北京市丰台区九年级（上）期末数学练习试卷.doc

馨雅资源网 2013-2014学年北京市丰台区九年级（上）期末数学练习试卷 一、选择题（本题共36分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．（4分）已知3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（　　） A．= B．= C．= D．= 2．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且DE∥BC，如果DE：BC=3：5，那么AE：AC的值为（　　） A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5 3．（4分）已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 4．（4分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）在小正方形组成的网格图中，直角三角形的位置如图所示，则sinα的值为（　　） A． B． C． D． 6．（4分）当x＞0时，函数y=﹣的图象在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 7．（4分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 9．（4分）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（　　） A．AE=6cm B．sin∠EBC= C．当0＜t≤10时，y=t2 D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形 二．填空题（本题共20分，每小题4分） 10．（4分）两个相似三角形的面积比是5：9，则它们的周长比是　 　． 11．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么∠A=　 　°． 12．（4分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为　 　cm2． 13．（4分）一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是　 　． 14．（4分）如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2=　 　，AnBn=　 　．（n为正整数） 三、解答题（本题共19分，第15题4分，第16题5分，第17题5分，第18题5分） 15．（4分）计算：3tan30°﹣2cos45°+2sin60°． 16．（5分）已知二次函数y=x2+2x﹣1． （1）写出它的顶点坐标； （2）当x取何值时，y随x的增大而增大； （3）求出图象与x轴的交点坐标． 17．（5分）如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，AB=2． 求：（1）的长； （2）∠D的度数． 18．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长． 四、解答题（本题共17分，第19题5分，第20题6分，第21题6分） 19．（5分）如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°．求∠P的度数． 20．（6分）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2） （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小． 21．（6分）已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G， 求证：AB2=BG•BC． 五．解答题（本题共28分，第22题6分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 22．（6分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处． （参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449） （1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里） （2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔190海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由． 23．（7分）如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）． （1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离． 24．（7分）已知直线y=kx﹣3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍． （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形； （3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由． 25．（8分）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G． （1）如图1，求证：∠EAF=∠ABD； （2）如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=∠BAF，AF=AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论． 2013-2014学年北京市丰台区九年级（上）期末数学练习试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共36分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．（4分）已知3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（　　） A．= B．= C．= D．= 【分析】根据两內项之积等于两外项之积对各选项进行计算，然后利用排除法求解． 【解答】解：A、由=得，xy=12，故本选项错误； B、由=得，3x=4y，故本选项正确； C、由=得，4x=3y，故本选项错误； D、由=得，4x=3y，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了比例的性质，熟记两內项之积等于两外项之积是解题的关键． 2．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且DE∥BC，如果DE：BC=3：5，那么AE：AC的值为（　　） A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5 【分析】由DE∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应边的比相等得到AE：AC的值． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC=AE：AC， ∵DE：BC=3：5， ∴AE：AC的值为3：5， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等． 3．（4分）已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可． 【解答】解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm， ∴3.5＜4， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交， 故选：A． 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交． 4．（4分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，即共有6种等可能的结果，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，即共有6种等可能的结果，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的有4种情况， ∴向上一面的数字不小于3的概率是：=． 故选：C． 【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5．（4分）在小正方形组成的网格图中，直角三角形的位置如图所示，则sinα的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求得三角形的斜边长，然后利用三角函数的定义即可求解． 【解答】解：斜边长是：=， 则sinα==． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理以及三角函数，理解三角函数的定义是关键． 6．（4分）当x＞0时，函数y=﹣的图象在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【分析】先根据反比例函数的性质判断出反比例函数的图象所在的象限，再求出x＞0时，函数的图象所在的象限即可． 【解答】解：∵反比例函数中，k=﹣5＜0， ∴此函数的图象位于二、四象限， ∵x＞0， ∴当x＞0时函数的图象位于第四象限． 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限． 7．（4分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB． 【解答】解：如右图，连接OA， ∵半径OC⊥AB， ∴AE=BE=AB， ∵OC=5，CE=2， ∴OE=3， 在Rt△AOE中，AE==4， ∴AB=2AE=8， 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出AE． 8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【分析】根据抛物线解析式计算出y=的顶点坐标，过点C作CA⊥y轴于点A，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后求解即可． 【解答】解：过点C作CA⊥y， ∵抛物线y==（x2﹣4x）=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2， ∴顶点坐标为C（2，﹣2）， 对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键． 9．（4分）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（　　） A．AE=6cm B．sin∠EBC= C．当0＜t≤10时，y=t2 D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形 【分析】由图2可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下： （1）在BE段，BP=BQ；持续时间10s，则BE=BC=10；y是t的二次函数； （2）在ED段，y=40是定值，持续时间4s，则ED=4； （3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数． 【解答】解：（1）结论A正确．理由如下： 分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm； （2）结论B正确．理由如下： 如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F， 由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC•EF=×10×EF，∴EF=8， ∴sin∠EBC===； （3）结论C正确．理由如下： 如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G， ∵BQ=BP=t， ∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=t•t•=t2． （4）结论D错误．理由如下： 当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC． 此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=， ∵BC=10， ∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形． 【点评】本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm． 二．填空题（本题共20分，每小题4分） 10．（4分）两个相似三角形的面积比是5：9，则它们的周长比是　：3　． 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的周长的比等于相似比解答． 【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是5：9， ∴它们的相似比是：3， ∴它们的周长比是：3． 故答案为：：3． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质并求出两三角形的相似比是解题的关键． 11．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么∠A=　60　°． 【分析】根据∠C=90°，tanA=，可求得∠A的度数． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵tanA=， ∴∠A=60°． 故答案为：60． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 12．（4分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为　3π　cm2． 【分析】根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：扇形的面积==3πcm2． 故答案是：3π． 【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键． 13．（4分）一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是　　． 【分析】根据题意列出表格得出所有等可能的情况数，找出颜色不同的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】解：列表如下： 白 白 红 白 （白，白） （白，白） （红，白） 白 （白，白） （白，白） （红，白） 红 （白，红） （白，红） （红，红） 所有等可能的情况有9种，其中两次摸出棋子颜色不同的情况有5种， 则P（颜色不同）=． 故答案为：． 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14．（4分）如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2=　6　，AnBn=　n（n+1）　．（n为正整数） 【分析】根据OA1=1，求出A1A2、A2A3、A3A4的值，推出AnAn﹣1的值，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），推出AnBn=n（n+1）即可． 【解答】解：∵OA1=1， ∴A1A2=2×1=2， A2A3=3×1=3， A3A4=4， … An﹣2An﹣1=n﹣1， An﹣1An=n， ∵A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…， ∴=， ∴=， ∴A2B2=6=2×（2+1）， A3B3=12=3×（3+1）， A4B4=20=4（4+1）， …， ∴AnBn=n（n+1）， 故答案为：6，n（n+1）． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是根据求出的结果得出规律，题型较好，但是有一定的难度． 三、解答题（本题共19分，第15题4分，第16题5分，第17题5分，第18题5分） 15．（4分）计算：3tan30°﹣2cos45°+2sin60°． 【分析】本题可根据特殊的三角函数值解出tan30°、cos45°、sin60°的值，再代入原式中即可． 【解答】解：原式=， =， =． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键． 16．（5分）已知二次函数y=x2+2x﹣1． （1）写出它的顶点坐标； （2）当x取何值时，y随x的增大而增大； （3）求出图象与x轴的交点坐标． 【分析】（1）配方后直接写出顶点坐标即可； （2）确定对称轴后根据其开口方向确定其增减性即可； （3）令y=0后求得x的值后即可确定与x轴的交点坐标； 【解答】解：（1）y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2， ∴顶点坐标为：（﹣1，﹣2）； （2）∵y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2的对称轴为：x=﹣1，开口向上， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大； （3）令y=x2+2x﹣1=0，解得：x=﹣1﹣或x=﹣1+， ∴图象与x轴的交点坐标为（﹣1﹣，0），（﹣1+，0）． 【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解抛物线的有关性质． 17．（5分）如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，AB=2． 求：（1）的长； （2）∠D的度数． 【分析】（1）直接利用弧长公式求出即可； （2）利用邻补角的定义以及圆周角定理得出即可． 【解答】解：（1）∵∠AOC=130°，AB=2， ∴===； （2）由∠AOC=130°， 得∠BOC=50°， 又∵∠D=∠BOC， ∴∠D=×50°=25°． 【点评】此题主要考查了弧长公式以及圆周角定理，熟练记忆弧长公式是解题关键． 18．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长． 【分析】由已知得△BDC为等腰直角三角形，所以CD=BC=6，又因为已知∠A的正弦值，即可求出AB的长． 【解答】解：∵∠C=90°，∠BDC=45° ∴BC=CD=6 又∵sinA= ∴AB=6÷=15． 【点评】直角三角形知识的牢固掌握和三角函数的灵活运用． 四、解答题（本题共17分，第19题5分，第20题6分，第21题6分） 19．（5分）如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°．求∠P的度数． 【分析】根据PA，PB分别是⊙O的切线得到PA⊥OA，PB⊥OB，在四边形AOBP中根据内角和定理，就可以求出∠P的度数． 【解答】解：连接OB， ∴∠AOB=2∠ACB， ∵∠ACB=70°， ∴∠AOB=140°； ∵PA，PB分别是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， 即∠PAO=∠PBO=90°， ∵四边形AOBP的内角和为360°， ∴∠P=360°﹣（90°+90°+140°）=40°． 【点评】本题主要考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径． 20．（6分）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2） （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小． 【分析】（1）将A点代入一次函数解析式求出m的值，然后将A点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可得出反比例函数的表达式； （2）结合函数图象即可判断y1和y2的大小． 【解答】解：（1）将A的坐标代入y1=x+1， 得：m+1=2， 解得：m=1， 故点A坐标为（1，2）， 将点A的坐标代入：， 得：2=， 解得：k=2， 则反比例函数的表达式y2=； （2）结合函数图象可得： 当0＜x＜1时，y1＜y2； 当x=1时，y1=y2； 当x＞1时，y1＞y2． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题注意数形结合思想的运用，数形结合是数学解题中经常用到的，同学们注意熟练掌握． 21．（6分）已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G， 求证：AB2=BG•BC． 【分析】因为直径所对的圆周角是直角，所以作辅助线：连接AD；利用同角的余角相等，可得∠BAG=∠D，又由同弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠D，证得∠C=∠BAG，又因为∠ABG是公共角，即可证得△ABG∽△CBA；由相似三角形的对应边成比例，即可证得AB2=BG•BC． 【解答】解：连接AD， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD=90°， ∴∠BAF+∠DAF=90°， ∵AF⊥BD， ∴∠D+∠DAF=90°， ∴∠BAG=∠D， ∵∠C=∠D， ∴∠C=∠BAG， ∵∠ABG=∠ABC， ∴△ABG∽△CBA， ∴AB：CB=BG：AB， ∴AB2=BG•BC． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与圆的性质．解此题的关键是掌握辅助线的作法，在圆中，构造直径所对的角是直角是常见辅助线，同学们应注意掌握． 五．解答题（本题共28分，第22题6分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 22．（6分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处． （参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449） （1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里） （2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔190海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由． 【分析】（1）首先作PC⊥AB于C，利用∠CPA=90°﹣45°=45°，进而利用锐角三角函数关系得出PC的长，即可得出答案； （2）首先求出OB的长，进而得出OB＞50，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，作PC⊥AB于点C， 在Rt△PAC中，∠PCA=90°，∠CPA=90°﹣60°=30°， ∴PC=PA•cos30=100×=50， 在Rt△PCB中，∠PCB=90°，∠PBC=90°﹣45°=45°， ∴PB=PC=50≈122.5， ∴B处距离P有122.5海里． （2）没有危险． 理由如下： OB=OP﹣PB=190﹣50， （190﹣50）﹣50=140﹣50＞0 即OB＞50， ∴无危险 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系得出线段PC的长是解题关键． 23．（7分）如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）． （1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离． 【分析】（1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程； （2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是他们的距离． 【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）（2分） 设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5（3分） 把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5 得a=﹣（5分） ∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）；（6分） （2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4（7分） ∴4=﹣（x﹣5）2+5 ∴（x﹣5）2=1 ∴x1=，x2=（9分） ∴两景观灯间的距离为﹣=5米．（10分） 【点评】此题考查对抛物线等二次函数的应用，从图中可以看出的坐标是解题的关键． 24．（7分）已知直线y=kx﹣3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍． （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形； （3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A点坐标代入直线的解析式中，即可求得k的值，从而确定该直线的解析式；将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，可求得m、n的值，从而确定抛物线的解析式． （2）根据（1）得到的抛物线解析式，可求得点B的坐标，根据P、Q的运动速度，可用t表示出BP、CQ的长，进而可得到AQ、AP的长，然后分三种情况讨论： ①∠APQ=90°，此时PQ∥OC，可得到△APQ∽△AOC，根据相似三角形所得比例线段即可求得t的值； ②∠AQP=90°，亦可证得△APQ∽△ACO，同①的方法可求得此时t的值； ③∠PAQ=90°，显然这种情况是不成立的． （3）过D作y轴的平行线，交直线AC于F，设出点D的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式可表示出D、F的纵坐标，进而可求得DF的长，以DF为底，A点横坐标的绝对值为高即可得到△ADC的面积表达式（或由△ADF、△CDF的面积和求得），由此可求出关于△ADC的面积和D点横坐标的函数关系，根据函数的性质即可求得△ADC的面积最大值及对应的D点坐标． 【解答】解：（1）∵直线y=kx﹣3过点A（4，0）， ∴0=4k﹣3，解得k=． ∴直线的解析式为y=x﹣3．（1分） 由直线y=x﹣3与y轴交于点C，可知C（0，﹣3）． ∵抛物线经过点A（4，0）和点C， ∴， 解得m=． ∴抛物线解析式为．（2分） （2）对于抛物线， 令y=0，则， 解得x1=1，x2=4． ∴B（1，0）． ∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3﹣t，AQ=5﹣2t． ①若∠Q1P1A=90°，则P1Q1∥OC（如图1）， ∴△AP1Q1∽△AOC． ∴， ∴， 解得t=；（3分） ②若∠P2Q2A=90°， ∵∠P2AQ2=∠OAC， ∴△AP2Q2∽△ACO． ∴， ∴ 解得t=；（4分） ③若∠QAP=90°，此种情况不存在．（5分） 综上所述，当t的值为或时，△PQA是直角三角形． （3）答：存在． 过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）． ∴S△ADF=DF•AE，S△CDF=DF•OE． ∴S△ACD=S△ADF+S△CDF =DF•AE+DF•OE =DF×（AE+OE） =×（DE+EF）×4 =×（）×4 =．（6分） ∴S△ACD=（0＜x＜4）． 又∵0＜2＜4且二次项系数， ∴当x=2时，S△ACD的面积最大． 而当x=2时，y=． ∴满足条件的D点坐标为D（2，）．（7分） 【点评】此题考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，（3）题中，将图形面积的最大（小）值问题转化为二次函数的最值问题是此类题常用的解法． 25．（8分）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G． （1）如图1，求证：∠EAF=∠ABD； （2）如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=∠BAF，AF=AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）如图1，连接FE、FC，构建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），则易证∠BAF=∠2，FA=FC；根据垂直平分线的性质、等量代换可知FE=FA，∠1=∠BAF，则∠5=∠6．然后由四边形内角和是360°、三角形内角和定理求得∠5+∠6=∠3+∠4，则∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD； （2）FM=FN．理由如下：由△AFG∽△BFA，易得∠AGF=∠BAF，所以结合已知条件和图形得到∠MBG=∠BMG．易证△AGF∽△DGA，则对应边成比例：==．即==． 设GF=2a（a＞0），AG=3a，则GD=a，FD=a；利用平行线（BE∥AD）截线段成比例易得=，则==．设EG=2k（k＞0），所以BG=MG=3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则===，又由FQ∥ED，易证得==，所以FM=FN． 【解答】（1）证明：如图1，连接FE、FC． ∵点F在线段EC的垂直平分线上， ∴FE=FC， ∴∠1=∠2． ∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C）， ∴AB=CB，∠4=∠3， ∵在△ABF与△CBF中， ， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴∠BAF=∠2，FA=FC， ∴FE=FA，∠1=∠BAF， ∴∠5=∠6． ∵∠1+∠BEF=180°， ∴∠BAF+∠BEF=180° ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360°， ∴∠AFE+∠ABE=180°． 又∵∠AFE+∠5+∠6=180°， ∴∠5+∠6=∠3+∠4， ∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD； （2）FM=FN．理由如下： 如图2，由（1）知，∠EAF=∠ABD． 又∵∠AFB=∠GFA， ∴△AFG∽△BFA， ∴∠AGF=∠BAF． 又∵∠MBF=∠BAF， ∴∠MBF=∠AGF． ∵∠AGF=∠MBG+∠BMG， ∴∠MBG=∠BMG， ∴BG=MG． ∵AB=AD， ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF． 又∵∠FGA=∠AGD， ∴△AGF∽△DGA， ∴==． ∵AF=AD， ∴==． 设GF=2a（a＞0），AG=3a， ∴GD=a， ∴FD=a ∵∠CBD=∠ABD，∠ABD=∠ADB， ∴∠CBD=∠ADB， ∴BE∥AD， ∴=， ∴==． 设EG=2k（k＞0）， ∴BG=MG=3k． 如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则===， ∴GQ=QE， ∴GQ=EG=k，MQ=3k+k=k． ∵FQ∥ED， ∴==， ∴FM=FN． 【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形内角和定理以及四边形内角和是360度等知识点．难度较大，综合性较强． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2018/12/11 22:53:54；用户：金雨教育；邮箱：309593466@；学号：335385 学魁网