2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛网试决赛试卷（小高组）.doc

2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛网试决赛试卷（小高组） 一、填空题（每题10分，共80分） 1．（10分）算式×[2×（1.875﹣）]÷[（0.875+1）÷3]的值为　 　． 2．（10分）小龙的妈妈比爸爸小 3 岁，妈妈今年的年龄是小龙今年的9倍，爸爸明年的年龄是小龙明年的8倍，那么爸爸今年　 　岁． 3．（10分）某水池有A、B两个排水龙头．同时打开两个龙头排水，30分钟可将满池的水排尽；同时打开两个龙头排水10分钟，然后关闭A龙头，B龙头继续排水，30分钟后也可以将满池的水排尽．那么单独打开B龙头，需要　 　分钟才能排尽满池的水． 4．（10分）如图，圆O的面积为32，OC⊥AB，∠AOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOD，则扇形EOF的面积为　 　． 5．（10分）算式+++++++++的值的整数部分为　 　． 6．（10分）如图中，正方形ABCD的面积为840平方厘米，AE＝EB，BF＝2FC，DF与EC相交于G．则四边形AEGD的面积为　 　平方厘米． 7．（10分）一个自然数无论从左向右读或从右向左读都是一样的数称之为“回文数”，例如：909．那么所有三位回文数的平均数是　 　． 8．（10分）将七个连续自然数分别填在五个圆的交点A，B，C，D，E，F，G 处，使得每个圆上的数的和都相等．如果所填的数都大于0且不大于10，则填在点G处的数是　 　． 二、回答下列各题（每题10分，共40分，写出答案即可） 9．（10分）一只小虫沿如图中的线路从A爬到B．规定：图中标示箭头的边只能沿箭头方向行进，而且每条边在同一路线中至多通过一次．问：小虫从A到B的不同路线有多少条？ 10．（10分）如图是由1平方分米的正方形瓷砖铺砌的墙面的残片．问：图中由格点 A，B，C，D 为顶点的四边形ABCD的面积等于多少平方分米？ 11．（10分）在等式“爱国×创新×包容+厚德＝北京精神”中，每个汉字代表 0～9 的一个数字，爱、国、创、新、包、容、厚、德分别代表不同的数字．当四位数北京精神最大时，厚德为多少？ 12．（10分）求最小的自然数，它恰好能表示成4种不同的不少于两个的连续非零自然数之和． 2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛网试决赛试卷（小高组） 参考答案与试题解析 一、填空题（每题10分，共80分） 1．（10分）算式×[2×（1.875﹣）]÷[（0.875+1）÷3]的值为　5　． 【分析】根据分数的四则混合运算的运算顺序解答即可，注意把带分数化成假分数，小数化成分数有利于计算． 【解答】解：×[2×（1.875﹣）]÷[（0.875+1）÷3] ＝××（﹣）÷[（+）×] ＝4×÷[（+）×] ＝÷[×] ＝÷ ＝5 故答案为：5． 2．（10分）小龙的妈妈比爸爸小 3 岁，妈妈今年的年龄是小龙今年的9倍，爸爸明年的年龄是小龙明年的8倍，那么爸爸今年　39　岁． 【分析】设小龙今年的年龄是x岁，那么妈妈的年龄就是9x岁，小龙的妈妈比爸爸小3 岁，那么小龙爸爸的年龄就是9x+3岁，明年小龙爸爸的年龄就是9x+3+1岁；小龙明年的年龄就是x+1岁，它的8倍就是（x+1）×8，这与小龙爸爸明年的年龄相等，由此列出方程求出小龙今年的年龄，进而求出爸爸的年龄． 【解答】解：设小龙今年的年龄是x岁，小龙爸爸的年龄就是9x+3岁， （x+1）×8＝9x+3+1 8x+8＝9x+4 9x﹣8x＝8﹣4 x＝4 9x+3＝9×4+3＝39（岁） 答：爸爸今年39岁． 故答案为：39． 3．（10分）某水池有A、B两个排水龙头．同时打开两个龙头排水，30分钟可将满池的水排尽；同时打开两个龙头排水10分钟，然后关闭A龙头，B龙头继续排水，30分钟后也可以将满池的水排尽．那么单独打开B龙头，需要　45　分钟才能排尽满池的水． 【分析】设工作总量为1，A，B共同排水30分钟排尽，10分钟完成工程的，B完成剩下工程的，时间为30分钟，据此可求出B的工作效率，进而求解． 【解答】解：设工作总量为1，A，B共同排水需要30分钟．两个水龙头的效率和为， 合作10分钟，完成工作总量为×10＝， 但是B排水单独工作需要30分钟，工作总量为， B水龙头的效率为：， 单独打开B需要时间：1÷＝45（分）． 故答案为：45． 4．（10分）如图，圆O的面积为32，OC⊥AB，∠AOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOD，则扇形EOF的面积为　4　． 【分析】可以利用弧度之间的关系先求得EOF的弧度，而EOF可以分EOC和COF两个弧度，再利用已知的弧度关系，不难求得EOF的弧度，面积也不难求得． 【解答】解：根据分析，由图可知，∠AOE＝∠EOD＝∠FOD+∠COF+∠EOC； 又∠AOE＝90°﹣∠EOC，∠FOD＝∠COF， ∴90°﹣∠EOC＝∠FOD+∠COF+∠EOC＝2×∠COF+∠EOC， ⇒2（∠EOC+∠COF）＝90°⇒∠EOC+∠COF＝45° ⇒∠EOF＝45°，又∵圆O的面积为32＝πr2， ∴EOF的面积＝＝＝4． 故答案是：4． 5．（10分）算式+++++++++的值的整数部分为　46　． 【分析】先把算式通过拆分变形为50﹣5×（++++…++），然后讨论括号里的和的取值，即可解答． 【解答】解：设A＝+++++++++ ＝5×（+++++++++） ＝5×（1×10﹣﹣﹣…﹣） ＝50﹣5×（++++…++） 括号里的： ++++…++ ＝（+++）+（+）+（++） 所以，++++…++＜5×（+）＝ 则，A＞50﹣5×≈46.5 同理，++++…++ ＝（+++）+（+）+（++） 所以，++++…++＞5×（+）＝ 则，A＜50﹣5×≈46.8 所以，46.5＜A＜46.8 所以，[A]＝46 即，原式的值的整数部分为46． 故答案为：46． 6．（10分）如图中，正方形ABCD的面积为840平方厘米，AE＝EB，BF＝2FC，DF与EC相交于G．则四边形AEGD的面积为　510　平方厘米． 【分析】这图形，易让人想到求三角形BCE、CDF、CGF的面积，其中难求得是△CGF的面积．根据所给的条件，我们应做做GM⊥BC交点为M，这样就形成了与△BCE、△CDF对应的2组相似三角形．再利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求得△CGF的面积．最后根据图形即可算出所求图形的面积． 【解答】解：做GM⊥BC交点为M， ∴△FMG∽△FCD⇒FM：FC＝MG：CD， ∵BF＝2FC⇒BC＝3FC， ∴MG＝3FM， ∵△CGM：△CEB⇒CM：CB＝GM：BE， BC＝2BE， ∴GM＝CM＝3FM⇒CM＝6FM， ∴FM：FC＝1：7， CM：CB＝2：7， S△BCE＝□ABCD＝210， S△CGM＝4÷49×210＝840÷49＝120÷7， S△CDF＝S□ABCD÷6＝140， S△MGF＝140×1÷49＝140÷49＝20÷7， S△CGM+△MGF＝120÷7+20÷7＝20， 840﹣210﹣140+20＝510（平方厘米）． 故：四边形AEGD的面积是510平方厘米． 7．（10分）一个自然数无论从左向右读或从右向左读都是一样的数称之为“回文数”，例如：909．那么所有三位回文数的平均数是　550　． 【分析】三位回文数是ABA的形式，共有90个，因此平均数＝这些数的和÷90＝[101×（1+2+…+9）×10+10×（0+1+2+…+9）×9]÷90，即可得出结论． 【解答】解：三位回文数是ABA的形式 A共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3… B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、… 共有9×10＝90个 因此平均数＝这些数的和÷90 ＝[101×（1+2+…+9）×10+10×（0+1+2+…+9）×9]÷90 ＝（101×45×10+10×45×9）÷90 ＝45×10×110÷90 ＝5×110 ＝550， 故答案为550． 8．（10分）将七个连续自然数分别填在五个圆的交点A，B，C，D，E，F，G 处，使得每个圆上的数的和都相等．如果所填的数都大于0且不大于10，则填在点G处的数是　6　． 【分析】首先分析这些数字之间的关系，相等的量和有倍数关系的量，枚举尝试即可． 【解答】解：依题意可知： A+B＝A+C+D＝B+E+F＝C+F+G＝D+E+G． C+D＝B，E+F＝A． C+F+G+D+E+G＝A+B+A+B 2G＝A+B．（和为偶数） 字母G估算再中间数字5，6，7．字母A不能是1，2．字母B比较大． 尝试A＝3，B＝9，G＝6．E+F＝3，C+D＝9．相等数字和为12．所以F＝1．C＝5．E＝2，D＝4．满足条件． 故答案为：6 二、回答下列各题（每题10分，共40分，写出答案即可） 9．（10分）一只小虫沿如图中的线路从A爬到B．规定：图中标示箭头的边只能沿箭头方向行进，而且每条边在同一路线中至多通过一次．问：小虫从A到B的不同路线有多少条？ 【分析】小虫从A到B，第一个六边形的分叉口上下均有2条，B所在的六边形也上下有2条，于是有2×2+2×2＝8条，中间往回走的箭头有2条路线，一共有10条． 【解答】解：小虫从A到B，第一个六边形的分叉口上下均有2条，B所在的六边形也上下有2条，于是有2×2+2×2＝8条，中间往回走的箭头有2条路线，一共有10条． 答：小虫从A到B的不同路线有10条． 10．（10分）如图是由1平方分米的正方形瓷砖铺砌的墙面的残片．问：图中由格点 A，B，C，D 为顶点的四边形ABCD的面积等于多少平方分米？ 【分析】这属于正方形格点问题，根据正方形格点毕克定理S＝N﹣1+L÷2可以直接求出面积，其中N表示内部的格点数，L表示边界上的格点数． 【解答】解：内部的格点数是12，边界点的数是6，根据公式列出算式是 12﹣1+6÷2＝14 答：四边形ABCD的面积等于14平方分米． 11．（10分）在等式“爱国×创新×包容+厚德＝北京精神”中，每个汉字代表 0～9 的一个数字，爱、国、创、新、包、容、厚、德分别代表不同的数字．当四位数北京精神最大时，厚德为多少？ 【分析】由题意，14×20×35+98＝9898，即可得出结论． 【解答】解：由题意，14×20×35+98＝9898， ∴当四位数北京精神最大时，厚德为98． 12．（10分）求最小的自然数，它恰好能表示成4种不同的不少于两个的连续非零自然数之和． 【分析】从连续非零自然数的和的奇偶性切入进行分析：因为是连续非零自然数之和，那么两个数的和，奇数+偶数＝奇数；三个数的和，偶数+奇数+偶数＝奇数，并且是3的倍数；四个数的和一定是偶数，排除掉；五个数的和，奇数+偶数+奇数+偶数+奇数＝奇数，并且是5的倍数；六个数时，三个奇数+三个偶数＝奇数．3和5最小公倍数是15，这个最小自然数一定是15的倍数． 通过试算可知45是符合条件的最小的自然数． 【解答】解：两个数的和，奇数+偶数＝奇数； 三个数的和，偶数+奇数+偶数＝奇数，并且是3的倍数； 四个数的和一定是偶数，排除掉； 五个数的和，奇数+偶数+奇数+偶数+奇数＝奇数，并且是5的倍数； 六个数时，三个奇数+三个偶数＝奇数． 3和5的最小公倍数是15，所以这个最小自然数一定是15的倍数． 试算：45＝22+23＝14+15+16＝7+8+9+10+11＝5+6+7+8+9+10 所以45是符合条件的最小的自然数． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/7 10:49:29；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800 第10页（共10页）