2012-2013学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷.doc

馨雅资源网 2012-2013学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（　　） A．x≠1 B．x＞1 C．x＝1 D．x≥1 2．（3分）本市某周气温的度数分别为30，29，30，31，30，32，29，则这组数据的众数为（　　） A．30 B．29 C．30和29 D．31 3．（3分）已知反比例函数y＝的图象过点（2，1），则下列各点中也在反比例函数图象上的是（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（2，） D．（4，） 4．（3分）若关于x的方程3x2+mx+2m﹣6＝0的一个根是0，则m的值为（　　） A．6 B．3 C．2 D．1 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．×＝ B．+＝ C．÷＝ D．＝ 6．（3分）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，则四边形ABCD的面积为（　　） A．24 B．32 C．36 D．40 7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与BC，AD分别相交于点E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFDC的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 8．（3分）若关于x的方程x2﹣ax﹣a＝0有两个相等的实根，则a的值是（　　） A．0 B．﹣4 C．4 D．0或﹣4 9．（3分）已知Rt△ABC中两条边长分别是3，4，则第三条边长是（　　） A．2 B．5 C． D．5或 10．（3分）菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，则y与x的图象大致为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中横线上． 11．（3分）甲乙两组投掷比赛，平均环数均相同，甲组的方差是2.4，乙组的方差是3.5，则成绩较稳定的是　 　组． 12．（3分）计算：（﹣2）2012（+2）2013＝　 　． 13．（3分）已知双曲线y＝经过点（﹣1，3），如果A（a1，b1），B（a2，b2）两点在该双曲线上，且a1＜a2＜0，那么b1　 　b2（选填“＞”、“＝”、“＜”）． 14．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则斜边AB的中线长为　 　． 15．（3分）若关于x的方程（k﹣1）+2x﹣3＝0为一元二次方程，则k＝　 　． 16．（3分）如图，已知直线y＝kx+b图象与反比例函数y＝图象交于A（1，m），B（﹣4，n），则不等式kx+b＞的解集为　 　． 17．（3分）下列命题： ①矩形的对角线相等； ②对角线相等的四边形是矩形； ③菱形的每一条对角线平分一组对角； ④对角线平分每组对角的四边形是菱形． 其中正确命题的序号为　 　． 18．（3分）如图，▱ABCD中，AC，BD交于点O1，作▱BCD1O1，连接BD1交AC于点O2，作 ▱BCD2O2，连接BD2交AC于点O3，…，以此类推，若AD＝1，AB＝2，∠BAD＝ 120°，则▱BCD2O2的面积是　 　，▱BCDnOn面积是　 　． 三、计算题：本大题共2小题，计算应有演算步骤． 19．（8分）（1）﹣×（+）； （2）﹣﹣a． 20．（5分）已知，求的值． 四、解答题：本大题共5小题，共33分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣6x＝3； 4（2）x（x﹣2）+3＝0． 22．（6分）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于点E，∠ABC的平分线BF交边CD于点F，交AE于点G． （1）求证：DF＝EC； （2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由． 23．（5分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图． （Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数； （Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动？ 24．（6分）分别以△ABC的边AC、BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，连接D1D2． （1）如图1，过点C作MH⊥AB于点H，交D1D2于点G．若CM＝AB，连接MD1，MD2，试证明四边形D1CD2M是平行四边形． （2）如图2，CF为AB边中线，试探究CF与线段D1D2的数量关系，并加以证明． 25．（8分）如图1在直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，过点A作x轴的垂线，垂足为点C（1，0） （1）若△AOC的面积是2，则m的值为　 　；若OB＝OA，则点B的坐标是　 　． （2）在（1）的条件，AB所在直线分别交x轴、y轴于点M、N，点P在x轴上，PE⊥AB于点E，EF⊥y轴于点F． ①若点P是线段OM上不与O，M重合的任意一点，PM＝a，当a为何值时，PM＝PF？ ②若点P是射线OM上的一点．设P点的横坐标为x，由P、M、E、F四个点组成的四边形的面积为y，试写出y与x的函数关系式及x的取值范围． 2012-2013学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（　　） A．x≠1 B．x＞1 C．x＝1 D．x≥1 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 2．（3分）本市某周气温的度数分别为30，29，30，31，30，32，29，则这组数据的众数为（　　） A．30 B．29 C．30和29 D．31 【分析】根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数即可． 【解答】解：30出现了3次，出现的次数最多， 则这组数据的众数为30； 故选：A． 【点评】此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个． 3．（3分）已知反比例函数y＝的图象过点（2，1），则下列各点中也在反比例函数图象上的是（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（2，） D．（4，） 【分析】先根据反比例函数y＝的图象过点（2，1）求出k的值，再根据k＝xy的特点进行解答即可． 【解答】解：∵反比例函数y＝的图象过点（2，1）， ∴1＝，即k＝2， A、∵2×（﹣1）＝﹣2≠2，故此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B、∵1×（﹣2）＝﹣2≠2，故此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C、∵2×＝1≠2，故此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； D、∵4×＝2，故此点在反比例函数的图象上，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 4．（3分）若关于x的方程3x2+mx+2m﹣6＝0的一个根是0，则m的值为（　　） A．6 B．3 C．2 D．1 【分析】把x＝0代入已知方程，可以得到关于m的一元一次方程，通过解一元一次方程来求m的值． 【解答】解：把x＝0代入方程：3x2+mx+2m﹣6＝0，得 2m﹣6＝0， 解得 m＝3． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．×＝ B．+＝ C．÷＝ D．＝ 【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断； 根据二次根式的加减法对B进行判断； 根据二次根式的除法法则对C、D进行判断． 【解答】解：A、原式＝＝，所以A选项正确； B、与不能合并，所以B选项错误； C、原式＝＝，所以C选项错误； D、原式＝，所以D选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 6．（3分）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，则四边形ABCD的面积为（　　） A．24 B．32 C．36 D．40 【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积＝直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积． 【解答】解：连接AC，如图所示： ∵∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 又∵AB＝3，BC＝4， ∴根据勾股定理得：AC＝＝5， 又∵CD＝12，AD＝13， ∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°， 则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD＝×3×4+×5×12＝36． 故选：C． 【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键． 7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与BC，AD分别相交于点E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFDC的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD＝AB＝4，AD＝BC＝5．再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△COE≌△AOF．根据全等三角形的性质，得：OF＝OE＝1.5，CE＝AF，故四边形EFDC的周长为CD+EF+AD＝12． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝5，OA＝OC，AD∥BC， ∴∠FAO＝∠ECO，∠AEO＝∠CFO， 在△COE和△AOF中， ， ∴△COE≌△AOF（AAS）． ∴OF＝OE＝1.5，CE＝AF． 故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质，能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键． 8．（3分）若关于x的方程x2﹣ax﹣a＝0有两个相等的实根，则a的值是（　　） A．0 B．﹣4 C．4 D．0或﹣4 【分析】若一元二次方程有两等根，则根的判别式△＝0，建立关于a的方程，求出a的取值． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣ax﹣a＝0有两个相等的实数根， ∴△＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣a）＝0， 解得a＝0或﹣4． 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 9．（3分）已知Rt△ABC中两条边长分别是3，4，则第三条边长是（　　） A．2 B．5 C． D．5或 【分析】此题要分情况进行讨论，两边长分别为3和4，4可能是直角边也可能为斜边，再根据勾股定理计算出第三边长即可． 【解答】解：Rt△ABC中，两边长分别为3和4， 4可能是直角边也可能为斜边， 当4为直角边时，斜边长为＝5， 当4为斜边时，另一直角边为：＝， 故选：D． 【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 10．（3分）菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，则y与x的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据题意确定y与x之间的函数关系式，再根据x、y的实际意义确定其图象所在的象限即可． 【解答】解：∵菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，∴xy＝4， ∴y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据xy实际意义x＞0、y＞0，其图象在第一象限． 故选：C． 【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中横线上． 11．（3分）甲乙两组投掷比赛，平均环数均相同，甲组的方差是2.4，乙组的方差是3.5，则成绩较稳定的是　甲　组． 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【解答】解：∵甲组的方差是2.4，乙组的方差是3.5， ∴甲组的方差小于乙组的方差， ∴成绩较稳定的是甲组； 故答案为：甲． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 12．（3分）计算：（﹣2）2012（+2）2013＝　+2　． 【分析】先根据积的乘方与幂的乘方得到原式＝[（﹣2）（+2）]2012•（+2），然后利用平方差公式计算． 【解答】解：原式＝[（﹣2）（+2）]2012•（+2） ＝（5﹣4）2012•（+2） ＝+2． 故答案为+2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 13．（3分）已知双曲线y＝经过点（﹣1，3），如果A（a1，b1），B（a2，b2）两点在该双曲线上，且a1＜a2＜0，那么b1　＜　b2（选填“＞”、“＝”、“＜”）． 【分析】根据反比例函数的增减性解答． 【解答】解：把点（﹣1，3）代入双曲线y＝ 得k＝﹣3＜0， 故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵A（a1，b1），B（a2，b2）两点在该双曲线上，且a1＜a2＜0， ∴A、B在同一象限， ∴b1＜b2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查利用反比例函数的增减性质判断图象上点的坐标特征． 14．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则斜边AB的中线长为　5　． 【分析】由在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，利用勾股定理即可求得斜边AB的长，又由在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求得斜边AB的中线长． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝10， ∴斜边AB的中线长：CD＝AB＝5． 故答案为：5． 【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 15．（3分）若关于x的方程（k﹣1）+2x﹣3＝0为一元二次方程，则k＝　3　． 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数． 【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）+2x﹣3＝0为一元二次方程， ∴k2﹣4k+5＝2且k﹣1≠0， 解得k＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念：形如ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的方程叫一元二次方程． 16．（3分）如图，已知直线y＝kx+b图象与反比例函数y＝图象交于A（1，m），B（﹣4，n），则不等式kx+b＞的解集为　﹣4＜x＜0或x＞1　． 【分析】当所求不等式成立时，一次函数图象对应的点都在反比例图象的上方，根据两个函数的图象可求出所求不等式的解集． 【解答】解：不等式kx+b＞成立，就是函数y＝kx+b对应的点在反比例函数y＝图象的上方； 因而不等式kx+b＞的解集为﹣4＜x＜0或x＞1． 【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 17．（3分）下列命题： ①矩形的对角线相等； ②对角线相等的四边形是矩形； ③菱形的每一条对角线平分一组对角； ④对角线平分每组对角的四边形是菱形． 其中正确命题的序号为　①③　． 【分析】利用矩形的判定与性质、菱形的判定与性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①矩形的对角线相等，正确； ②对角线相等的四边形是矩形，错误； ③菱形的每一条对角线平分一组对角，正确； ④对角线平分每组对角的四边形是菱形，错误， 故答案为：①③． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，难度不大． 18．（3分）如图，▱ABCD中，AC，BD交于点O1，作▱BCD1O1，连接BD1交AC于点O2，作 ▱BCD2O2，连接BD2交AC于点O3，…，以此类推，若AD＝1，AB＝2，∠BAD＝ 120°，则▱BCD2O2的面积是　　，▱BCDnOn面积是　　． 【分析】根据平行四边形的性质可知：对角线把平行四边形分得的四个三角形的面积相等，所以▱BCD2O2的面积是原平行四边形面积的，以此类推即可求出，▱BCDnOn面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O1， ∴▱BCD2O2的面积＝S四边形ABCD， ∵AD＝1，AB＝2，∠BAD＝120°， ∴S四边形ABCD＝1×， ∴▱BCD2O2的面积＝S四边形ABCD＝， ∴S▱BCD3O3＝， …以此类推， ▱BCDnOn面积是＝， 故答案为：，． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行四边形的面积公式运用，是一道找规律的题目，解题的关键是掌握对角线把平行四边形分得的四个三角形的面积相等． 三、计算题：本大题共2小题，计算应有演算步骤． 19．（8分）（1）﹣×（+）； （2）﹣﹣a． 【分析】（1）先根据二次根式的除法法则得到原式＝2﹣﹣，然后合并即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣ ＝2﹣﹣ ＝﹣； （2）原式＝4﹣3﹣ ＝0． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 20．（5分）已知，求的值． 【分析】把a+＝两边平方得到（a+）2＝10，然后根据（a±b）2＝a2±2ab+b2变形得到（a﹣）2+4＝10，最后利用平方根的定义计算即可． 【解答】解：∵a+＝， ∴（a+）2＝10， ∴（a﹣）2+4＝10， ∴a﹣＝±． 【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了代数式的变形能力以及平方根的定义． 四、解答题：本大题共5小题，共33分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣6x＝3； （2）x（x﹣2）+3＝0． 【分析】（1）直接在左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方； （2）先去括号，把常数项3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方． 【解答】解：（1）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣6x+9＝3+9， 配方得（x﹣3）2＝12． x﹣3＝±2， 解得x＝3±2， 即x1＝3+2，x2＝3﹣2； （2）去括号得，x2﹣2x+3＝0， 移项得，x2﹣2x＝﹣3， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+3＝﹣3+3， 配方得（x﹣）2＝0． x﹣＝0， 解得x1＝x2＝． 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 22．（6分）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于点E，∠ABC的平分线BF交边CD于点F，交AE于点G． （1）求证：DF＝EC； （2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由． 【分析】（1）由角平分线知∠ADE＝∠DEA，由平行知∠DEA＝∠EAG，所以∠DAE＝∠DEA，即AD＝DE，同理CF＝BC，又AD＝BC，所以DE＝CF，去掉公共部分，则有DF＝CE； （2）由于AE、BF是平行四边形一组邻角的平分线，所以△EFG已经是直角三角形了，要成为等腰直角三角形，则必须有FG＝EG即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC． ∴∠DEF＝∠EAB， ∵∠BAD的平分线AE交边CD于点E， ∴∠DAE＝EAB， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE， 同理可证：BC＝CF， ∵AD＝BC， ∴DE＝CF， ∴DF＝CE； （2）解：∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∵AE、BF分别平分∠DAB和∠CBA， ∴∠GAB+∠GBA＝90°． ∴∠AGB＝90°． ∴∠FGE＝90°． 因此我们只要保证添加的条件使得GF＝FE就可以了． 【点评】此题考查了平行四边形的基本性质，以及直角三角形的判定，难易程度适中． 23．（5分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图． （Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数； （Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动？ 【分析】（Ⅰ）根据加权平均数的公式可以计算出平均数；根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数； （Ⅱ）利用样本估计总体的方法，用样本中的平均数×1200即可． 【解答】解：（Ⅰ）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数是：＝＝3.3次， 则这组样本数据的平均数是3.3次． ∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是4次． ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，＝3次， ∴这组数据的中位数是3次； （Ⅱ）∵这组样本数据的平均数是3.3次， ∴估计全校1200人参加活动次数的总体平均数是3.3次， 3.3×1200＝3960． ∴该校学生共参加活动约为3960次． 【点评】本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，以及样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 24．（6分）分别以△ABC的边AC、BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，连接D1D2． （1）如图1，过点C作MH⊥AB于点H，交D1D2于点G．若CM＝AB，连接MD1，MD2，试证明四边形D1CD2M是平行四边形． （2）如图2，CF为AB边中线，试探究CF与线段D1D2的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）过点D1作D1N⊥CM于N，根据同角的余角相等求出∠BAC＝∠MCD1，根据正方形的四条边都相等可得AC＝CD1，然后利用“角角边”证明△ACH和△CD1N全等，根据全等三角形对应边相等可得AH＝CN，CH＝D1N，然后求出BH＝MN，再利用“边角边”证明△BCH和△MD1N全等，根据全等三角形对应边相等可得D1M＝BC，∠D1MN＝∠CBH，根据正方形的性质可得BC＝CD2，再求出∠CBH＝∠MCD2，从而得到∠D1MN＝∠MCD2，根据内错角相等，两直线平行可得D1M∥CD2，然后根一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）延长CF至G，使FG＝CF，然后利用“边角边”证明△ACF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝BG，全等三角形对应边相等可得∠G＝∠ACF，再根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BG，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CBG+∠ACB＝180°，根据周角等于360°求出∠D1CD2+∠ACB＝180°，从而得到∠D1CD2＝∠CBG，然后利用“边角边”证明△CBG和△D2CD1全等，根据全等三角形对应边相等可得D1D2＝CG，从而得到D1D2＝2CF． 【解答】（1）证明：如图，过点D1作D1N⊥CM于N， ∵MH⊥AB， ∴∠BAC+∠ACH＝90°， ∵∠ACD1＝90°， ∴∠MCD1+∠ACH＝90°， ∴∠BAC＝∠MCD1， ∵四边形ACD1E1是正方形， ∴AC＝CD1， 在△ACH和△CD1N中， ， ∴△ACH≌△CD1N（AAS）， ∴AH＝CN，CH＝D1N， ∵CM＝AB， ∴BH＝MN， 在△BCH和△MD1N中， ， ∴△BCH≌△MD1N（SAS）， ∴D1M＝BC，∠D1MN＝∠CBH， ∵四边形BCD2E2是正方形， ∴BC＝CD2，∠BCD2＝90°， ∴D1M＝CD2，∠CBH＝∠MCD2， ∴∠D1MN＝∠MCD2， ∴D1M∥CD2， ∴四边形D1CD2M是平行四边形； （2）D1D2＝2CF． 证明如下：如图，延长CF至G，使FG＝CF， ∵CF是AB边的中线， ∴AF＝BF， 在△ACF和△BGF中， ， ∴△ACF≌△BGF（SAS）， ∴AC＝BG，∠G＝∠ACF， ∴AC∥BG， ∴∠CBG+∠ACB＝180°， ∵∠D1CD2+∠ACB＝360°﹣2×90°＝180°， ∴∠D1CD2＝∠CBG， 在△CBG和△D2CD1中， ， ∴△CBG≌△D2CD1（SAS）， ∴D1D2＝CG， ∴D1D2＝2CF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，正方形的性质，熟记各性质是解题的关键，（1）难点在于作辅助线构造出全等三角形并二次证明三角形全等，（2）“遇中线，加倍延”作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 25．（8分）如图1在直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，过点A作x轴的垂线，垂足为点C（1，0） （1）若△AOC的面积是2，则m的值为　4　；若OB＝OA，则点B的坐标是　（4，1）　． （2）在（1）的条件，AB所在直线分别交x轴、y轴于点M、N，点P在x轴上，PE⊥AB于点E，EF⊥y轴于点F． ①若点P是线段OM上不与O，M重合的任意一点，PM＝a，当a为何值时，PM＝PF？ ②若点P是射线OM上的一点．设P点的横坐标为x，由P、M、E、F四个点组成的四边形的面积为y，试写出y与x的函数关系式及x的取值范围． 【分析】（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，由反比例函数比例系数的几何意义即可求出m的值；由条件可得OD2+BD2＝OC2+AC2＝17，OD•BD＝4．由此可求出OD、BD的值，即可得到点B的坐标． （2）①先求出直线AB的解析式，再求出直线AB与坐标轴的交点坐标，从而可以得到OM＝ON＝5，∠OMN＝∠ONM＝45°，然后利用三角函数就可用a的代数式表示出OP、PF、OF的长，在Rt△POF中运用勾股定理就可求出a的值；②由于点P是射线OM上的一点，因此需分情况讨论，可分0≤x＜5，x＝5，x＞5三种情况进行讨论，同样利用三角函数用a的代数式表示出PM、EF、OF的长，就可解决问题． 【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，如图1， ∵AC⊥x轴，垂足为C， ∴S△ACO＝OC•AC＝＝2，OA2＝OC2+AC2． ∵点C（1，0）即OC＝1，m＞0， ∴AC＝4，m＝4． ∵BD⊥x轴，垂足为D， ∴S△ODB＝OD•BD＝＝2，OB2＝OD2+BD2． ∴OD•BD＝4． ∵OA＝OB， ∴OD2+BD2＝OC2+AC2＝1+16＝17． ∴（OD+BD）2＝OD2+BD2+2OD•BD＝17+8＝25， （OD﹣BD）2＝OD2+BD2﹣2OD•BD＝17﹣8＝9． ∵OD＞BD＞0， ∴OD+BD＝5，OD﹣BD＝3． ∴OD＝4，BD＝1． ∴点B的坐标为（4，1）． 故答案为：4，（4，1）． （2）在（1）的条件下有点A（1，4），点B（4，1）． ①如图2， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 则有． 解得：． ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5． 当x＝0时，y＝5，则点N（0，5），ON＝5； 当y＝0时，x＝5，则点M（5，0），OM＝5． ∴OM＝ON＝5． ∵∠MON＝90°， ∴∠OMN＝∠ONM＝45°，MN＝5． ∵PE⊥AB，EF⊥ON， ∴EM＝PM•cos∠EMP＝PM，NF＝NE•cos∠FNE＝NE． ∵PM＝a， ∴OP＝5﹣a，EM＝a，NE＝5﹣a，NF＝5﹣a，OF＝a． ∵PF＝PM＝a，∠POF＝90°， ∴PF2＝OF2+OP2． ∴a2＝（a）2+（5﹣a）2． 解得：a1＝20+10，a2＝20﹣10． ∵点P是线段OM上不与O，M重合的任意一点， ∴0＜a＜5． ∴a＝20﹣10． ∴当a＝20﹣10时，PM＝PF． ②Ⅰ．当0≤x＜5时，点P在线段OM上（与点M不重合），如图2， 则有PM＝5﹣x，EM＝（5﹣x），NE＝5﹣（5﹣x）， EF＝NF＝NE＝5﹣（5﹣x）＝x+． ∴OF＝ON﹣NF＝5﹣（x+）＝﹣x． ∴y＝（EF+PM）•OF＝（x++5﹣x）•（﹣x）＝x2﹣x+． Ⅱ．当x＝5时，点P与点M重合，此时P、M、E、F四个点不能组成四边形，故舍去． Ⅲ．当x＞5时，点P在线段OM的延长线上，如图3， 则有PM＝x﹣5，EM＝（x﹣5），NE＝5+（x﹣5）， EF＝NF＝NE＝5+（x﹣5）＝x+． ∴OF＝NF﹣ON＝x+﹣5＝x﹣． ∴y＝（EF+PM）•OF＝（x++x﹣5）•（x﹣）＝x2﹣x+． 综上所述：当0≤x＜5时，y＝x2﹣x+；当x＞5时，y＝x2﹣x+． 【点评】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、用待定系数法求一次函数的解析式、特殊角的三角函数值、勾股定理、解一元二次方程、完全平方公式、等腰三角形的性质等知识，还考查了分类讨论的思想，有一定的综合性． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/5/19 19:44:24；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111 学魁网