2011年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小学组）.doc

2011年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小学组） 一、选择题（每小题10分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1．（10分）如连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（　　） A．100 B．101 C．102 D．103 2．（10分）用火柴棍摆成数字0﹣9的方式如下： 现在，去掉“”的左下侧一根，就成了数字“”，我们称“”对应1；去掉“”的上下两根和左下角一根，就成了数字“”，我们称“”对应3，规定“”本身对应0，按照这样的规则可以对应出 （　　）个不同的数字． A．10 B．8 C．6 D．5 3．（10分）两数之和与两数之商都为6，那么这两数之积减这两数之差（大减小）等于（　　） A．26 B．5 C． D． 4．（10分）老师问5名学生：“昨天你们有几个人复习数学了？”张：“没有人．”李：“一个人．”王：“二个人．”赵：“三个人．”刘：“四个人．”老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人没复习，复习的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．那么，昨天这5个人中复习数学的有（　　）个人． A．3 B．2 C．1 D．0 5．（10分）如图所示，在7×7方格的格点上，有7只机器小蚂蚁，他们以相同的速度沿格线到格点M、N、P、Q（图中空心圆圈所表示的四个位置）中的某个上聚会．所用时间总和最小的格点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 6．（10分）用若干台计算机同时录入一部书，计划若干小时完成，如果增加3台计算机，则只需原定时间的75%；如果减少3台计算机，则比原定时间多用小时，那么原定完成录入这部书稿的时间是（　　）小时． A． B． C． D． 二、填空题（每小题10分，满分40分） 7．（10分）如图由4个正六边形组成，每个面积是6，以这4个正六边形的顶点为顶点，可以连接面积为4的等边三角形有　 　个． 8．（10分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，3小时后相遇，甲掉头返回A地，乙继续前行．甲到达A地后掉头往B行驶，半小时后和乙相遇．那么乙从A到B共需　 　小时． 9．（10分）如图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，AD∥BC，EF＝13厘米，MN＝4厘米，又已知EF⊥MN于O，那么阴影部分的总面积为　 　平方厘米． 10．（10分）在右面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数的最大值是　 　． 三、附加题（这次华杯赛上，除了上述十道题外，南京有的考点还有2道附加题） 11．（10分）有6个时刻，6：30，6：31，6：32，6：33，6：34，6：35这几个时刻里，　 　时刻时针和分针靠的最近，　 　　 　时刻时针和分针靠得最远． 12．（10分）一个纸片倒过来，0、1、8三个数字转180°后不变，6变成9，9变成6，其他数字转180°没意义．问，7位数转180°后不变的有　 　个，其中能被4整除的有　 　个，这些转180°后不变的7位数的总和是　 　． 2011年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小学组） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题10分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1．（10分）如连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（　　） A．100 B．101 C．102 D．103 【分析】因为任何四个连续自然数的和一定能够除以4余2，所以题中给出的四个选项中只有102满足条件． 【解答】解：因为任何四个连续自然数的和一定能够除以4余2， 102÷4＝25…2， 所以四个选项中只有102满足条件． 故选：C． 2．（10分）用火柴棍摆成数字0﹣9的方式如下： 现在，去掉“”的左下侧一根，就成了数字“”，我们称“”对应1；去掉“”的上下两根和左下角一根，就成了数字“”，我们称“”对应3，规定“”本身对应0，按照这样的规则可以对应出 （　　）个不同的数字． A．10 B．8 C．6 D．5 【分析】原数字的火柴数目依次是对应的火柴棍的根数是：2、5、5、4、5、6、3、7、6、6，这里面只含有2、3、4、5、6、7，共6个不同的数字，取得根数只能从这6中数字里面取，所以对应的也有6不同的数字；据此解答． 【解答】解：原数字的火柴数目依次是对应的火柴棍的根数是：2、5、5、4、5、6、3、7、6、6， 这里面只含有2、3、4、5、6、7， 共6个不同的数字，所以对应的也有6不同的数字； 故选：C． 3．（10分）两数之和与两数之商都为6，那么这两数之积减这两数之差（大减小）等于（　　） A．26 B．5 C． D． 【分析】根据题意，可以把较大的数称为甲，较小的数称为乙．由题意可知甲是乙的6倍，甲加上乙等于6，由和倍公式就可以求出乙数是6÷（6+1）＝，再根据题意求出甲数，然后就可以求出这两个数的积和差，然后相减即可． 【解答】解：可设较大的数为甲，较小的数为乙． 由差倍公式可得乙是：6÷（6+1）＝， 那么甲是：×6＝； 两个数的积是：×＝， 两数之差为：﹣＝＝， 则：﹣＝； 故选：D． 4．（10分）老师问5名学生：“昨天你们有几个人复习数学了？”张：“没有人．”李：“一个人．”王：“二个人．”赵：“三个人．”刘：“四个人．”老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人没复习，复习的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．那么，昨天这5个人中复习数学的有（　　）个人． A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】根据题干：复习的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．可知五个人中只有一个人是对的．我们可以分别假定这五个同学中有一个说的是真话，来进行分析判断． 【解答】解：假设张说的是真话，没有人复习数学，但这与老师知道，他们昨天下午是有人复习的条件是不相符合的，故假设错误． 假设李说的话是真话，只有一个人复习数学，说明只他一个人复习了数学，其它同学都没有复习，其它同学都说了谎，符合题意． 假设王说的话是真话，只有二个人复习数学，那么五个同学中另个一个复习的同学也应该说有二个人复习了数学，但其它同学中没有说有二个人复习数学的，说明五说的是谎话． 同理，假设赵、刘说的是真话的话，其它复习的同学也应该与他们说的人数是一致的，但是没有，说明他们说的也是谎话． 故选：C． 5．（10分）如图所示，在7×7方格的格点上，有7只机器小蚂蚁，他们以相同的速度沿格线到格点M、N、P、Q（图中空心圆圈所表示的四个位置）中的某个上聚会．所用时间总和最小的格点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 【分析】看蚂蚁所在的列，可以知道应该在中间的一列，这列上有N和Q，再看蚂蚁所在的行，可以知道应该在中间的一行，所以该点是N． 【解答】解：要判断出所用时间总和最小的格点， 必须看蚂蚁所在的列，可以知道应该在中间的一列，这列上有N和Q， 再看蚂蚁所在的行，可以知道应该在中间的一行，所以该点是N． 故选：B． 6．（10分）用若干台计算机同时录入一部书，计划若干小时完成，如果增加3台计算机，则只需原定时间的75%；如果减少3台计算机，则比原定时间多用小时，那么原定完成录入这部书稿的时间是（　　）小时． A． B． C． D． 【分析】增加3台计算机，时间是原定的75%，工效就是原定的1÷75%＝，则原来有3÷（﹣1）＝9台机器；减少3台计算机，则是用6台计算机录入，原定时间×÷（﹣），解决问题． 【解答】解：原有机器： 3÷（1÷75%﹣1）， ＝3÷， ＝9（台）； 原定时间： ×÷（﹣）， ＝÷， ＝（小时）； 答：原定完成录入这部书稿的时间是小时． 故选：A． 二、填空题（每小题10分，满分40分） 7．（10分）如图由4个正六边形组成，每个面积是6，以这4个正六边形的顶点为顶点，可以连接面积为4的等边三角形有　8　个． 【分析】正六边形的中心到各边连线段都相等，都等于边长，即正六边形可分为6个相等的正三角形；所以每个小的三角形面积为1；而题目要求得到的等边三角形面积为4，所以边长就要为刚才小的等边三角形的2倍才行（这一点是根据“相似三角形的面积比等于边长平方之比”）；很明显，2个正六边形的公共点都可画出2个这样的正三角形，而面积刚好是4，即4×2＝8个；据此解答即可． 【解答】解： 因为正六边形可分为6个相等的正三角形， 所以每个小的三角形面积为1，而要得到的等边三角形面积为4，所以边长就要为刚才小的等边三角形的2倍才行（这一点是根据“相似三角形的面积比等于边长平方之比”）； 很明显，2个正六边形的公共点都可画出2个这样的正三角形， 而面积刚好是4， 4×2＝8（个）； 答：可以连接面积为4的等边三角形有 8个． 故答案为：8． 8．（10分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，3小时后相遇，甲掉头返回A地，乙继续前行．甲到达A地后掉头往B行驶，半小时后和乙相遇．那么乙从A到B共需　7.2　小时． 【分析】相遇后，甲还需要3小时返回甲地，第二次相遇时，甲距离相遇点的距离等于甲2.5小时的路程，乙用了3.5小时走这些路程，所以甲乙速度的比是7：5，甲乙相遇需要3小时，那么乙单独到需要3×12÷5＝7.2小时． 【解答】解：（3+0.5）：（3﹣0.5）＝7：5， 3×（7+5）÷5 ＝7.2（小时） 答：乙从A到B共需7.2小时． 故答案为：7.2． 9．（10分）如图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，AD∥BC，EF＝13厘米，MN＝4厘米，又已知EF⊥MN于O，那么阴影部分的总面积为　65　平方厘米． 【分析】根据图形可知△ABM和△EFM的面积相等，△CDN和△EFN的面积相等，△EFM和△EFN的面积和是EF×（MO+NO）÷2．然后再用平行四边形的面积减去2倍的，△EFM和△EFN的面积和，就是阴影部分的面积．据此解答． 【解答】解：根据以上分析知阴影部分的面积是： 117﹣（S△EFM+△EFN）×2， ＝117﹣[EF×（MO+NO）÷2]×2， ＝117﹣[13×4÷2]×2， ＝117﹣26÷2×2， ＝117﹣52， ＝65（平方厘米）． 故答案为：65． 10．（10分）在右面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数的最大值是　1769　． 【分析】要使四位数“华杯初赛”取得最大值，先确定“华”的值，进一步确定“杯”“初”和“赛”值，据此再利用弃九法推算即可解决问题． 【解答】解：观察题干，很显然华＝1，一共有9个数字，所以0到9之间有一个不能用，根据弃九法，5不能用，每进一位数字之和减少9，0+1+2+3+4+6+7+8+9﹣（2+0+1+1）＝36，所以共进4位，即个位与十位之一需要进2，有两种可能： （1）个位数字之和是11，十位数字之和是20，百位数字之和是8； （2）个位数字之和是21，十位数字之和是9，百位数字之和是9； 为了让四位数的值最大，“杯”应该尽量的大，“十”尽量的小， “十”最小2，此时“杯”是7； 则剩下的数字是0、3、4、6、8、9，个位和是21时，显然4+8+9＝21； 十位和是9，则剩下的正好0+3+6＝9，所以这个四位数最大是1769． 答：这个四位数最大是1769． 故答案为：1769． 三、附加题（这次华杯赛上，除了上述十道题外，南京有的考点还有2道附加题） 11．（10分）有6个时刻，6：30，6：31，6：32，6：33，6：34，6：35这几个时刻里，　6：33　时刻时针和分针靠的最近，　6：　　30　时刻时针和分针靠得最远． 【分析】分针每分钟走360÷60﹣＝6度，时针每分钟走6×5÷60＝0.5度，分别求出6：30，6：31，6：32，6：33，6：34，6：35，时针和分针走的度数，再比较它们之间的差，据此解答． 【解答】解：6时30分＝390分，6时31分＝391分，6时32分＝392分，6时33分＝393分，6时34分＝394，6时35分＝395分 分针每分钟走 360÷60﹣＝6（度）， 时针每分钟走 6×5÷60＝0.5（度）， 6：30时针与分针之间的度数： 390×0.5﹣30×6＝15（度）； 6：31时针与分针之间的度数： 391×0.5﹣31×6＝9.5（度）； 6：32时针与分针之间的度数： 392×0.5﹣32×6＝4（度）； 6：33时针与分针之间的度数： 33×6﹣393×0.5＝1.5（度）； 6：34时针与分针之间的度数： 34×6﹣394×0.5＝7（度）； 6：35时针与分针之间的度数： 35×6﹣395×0.5＝12.5（度）； 1.5＜4＜7＜9.5＜12.5＜15，所以6.33时时针和分针最近，6.30时时针和分针靠的最远． 故答案为：6：33，6：30． 12．（10分）一个纸片倒过来，0、1、8三个数字转180°后不变，6变成9，9变成6，其他数字转180°没意义．问，7位数转180°后不变的有　300　个，其中能被4整除的有　75　个，这些转180°后不变的7位数的总和是　1959460200　． 【分析】根据题干分析可得，这个7位数，旋转180度后不变，说明这个7位数是由0、1、8组成的，据此分别列举即可，再根据被4整除的数字特征解答问题． 【解答】解：（1）若7位数转 180°后不变，那么D一定是 0、1、8 中的一个，C 和 E、B 和 F、A 和 G，这三组每组内两个数字只能同时为 0、1 或 8，或者一个6，一个 9，这样只需要确定A、B、C、D这四个数字即可，A可以是1、6、8、9中的一个，4种选择； B可选0、1、6、8、9中的一个，5种选择； C可选0、1、6、8、9中的一个，5种选择； D从0、1、8中选择，3种．所以7位数转180°后不变的共有4×5×5×3＝300（个）． （2）在这其中能被4 整除的数末两位数只能是 00、08、16、60、68、80、88、96， 其中末尾为 00、80、60 的数转180°后首位为0，矛盾，排除． 所以其中能被4整除的数有 5×3×5＝75（个）． （3）A、G 这个位置上 1、8、6、9 各出现了 5×5×3＝75（次）， B、C、E、F 这两个位置上，所有数字各出现 4×5×3＝60 次，D 这个位置上，0、1、8 各出现 4×5×5＝100 次， 所以所有转180°后不变的7位数的总和是： 24×75×1000001+24×60×110110+9×100×1000＝1959460200． 答：7位数转180°后不变的有300个，其中能被4整除的有75个，这些转180°后不变的7位数的总和是1959460200． 故答案为：300；75；1959460200． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/7 10:55:37；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800 第11页（共11页）