2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第2试）.doc

2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第2试） 一、填空题（每小题5分，共60分） 1．（5分）计算：0.15÷2.1×56＝　 　． 2．（5分）15+115+1115+11115+…+1111111115＝　 　． 3．（5分）一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3．若用这个自然数除以6，得余数　 　． 4．（5分）数一数图中有　 　个正方形． 5．（5分）有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数．（注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积，立方数可以写成三个自然数的乘积）．如：1＝1×1＝1×1×1 64＝8×8＝4×4×4．那么，1000以内的自然数中，这样的数有　 　个． 6．（5分）有一个自然数，它的最小的两个约数的差是4，最大的两个约数的差是308，则这个自然数是　 　． 7．（5分）如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉．如此不断操作下去，圆圈上的5个棋子中最多有　 　个白子． 8．（5分）甲乙两人分别从AB两地同时相向而行，甲的速度是乙的3倍．经过60分钟，两人相遇，然后，甲的速度减为原速的一半，乙的速度不变，两人各自继续前行，那么，当甲到达B地后，再经过　 　分钟，乙到达A地． 9．（5分）如图，将一个棱长为1米的正方体木块分别沿长宽高三个方向锯开1，2，3次得到24个长方形木块，这24个长方形木块的表面积的和是　 　平方米． 10．（5分）如图，小丽和小明的桶中原来各装有3千克和5千克水，依据图中的信息可知，小丽的桶最多可以装　 　千克水，小明的桶最多可以装　 　千克水． 11．（5分）将1～2011的奇数排成一列，然后按每组1，2，3，2，1，2，3，2，1，…个数的规律分组如下（每个括号为一组）： （1）（3，5）（7，9，11）（13，15）（17）（19，21）（23，25，27）（29，31）（33）… 则最后一个括号内的各数之和是　 　． 12．（5分）当爷爷的年龄是爸爸年龄的2倍时，小明1岁；当爸爸的年龄是小明的年龄的8倍时，爷爷61岁．那么，爷爷比小明大　 　岁；当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸的年龄是　 　岁． 二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程． 13．（15分）如图，大小两个正方形并排放在一起，请分别在图乙和图丙中阴影标出一个几何图形（不一定是三角形，可以是任意的多边形），使它的面积等于图甲中的阴影面积．（直接作图，不写解答过程） 14．（15分）甲、乙、丙、丁4人去钓鱼，共钓到25条鱼，按数量从多到少的排名是甲、乙、丙、丁．又知甲钓到的鱼的条数是乙和丙钓到鱼的条数的和，乙钓到鱼的条数是丙和丁钓到鱼的条数的和．那么，甲乙丙丁各钓到几条鱼？ 15．（15分）A、B两地间有一条公路，甲乙两辆车分别从AB两地同时相向出发，甲车的速度是50千米/时．经过1小时，两车第一次相遇．然后两车继续行驶，各自到达B、A两地后都立即返回，第二次相遇点与第一次相遇点的距离是20千米．求： （1）AB两地的距离． （2）乙车的速度． 16．（15分）观察以下的运算： 若是三位数，因为＝100a+10b+c＝99a+9b+（a+b+c） 所以，若a+b+c能被9整除，能被9整除． 这个结论可以推广到任意多位数． 运用以上的结论，解答以下问题： （1）N是2011位数，每位数字都是2，求N被9除，得到的余数． （2）N是n位数，每位数字都是7，n是被9除余3的数．求N被9除，得到的余数． 2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第2试） 参考答案与试题解析 一、填空题（每小题5分，共60分） 1．（5分）计算：0.15÷2.1×56＝　4　． 【解答】解：0.15÷2.1×56， ＝0.15×56÷2.1 ＝0.15×8×7÷2.1 ＝1.2×， ＝4． 故答案为：4． 2．（5分）15+115+1115+11115+…+1111111115＝　1234567935　． 【解答】解：15+115+1115+11115+11115+…+1111111115， ＝（10+110+1110+11110+1111110+1111110+11111110+111111110+1111111110）+5×9， ＝1234567890+45， ＝1234567935． 故答案为：1234567935． 3．（5分）一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3．若用这个自然数除以6，得余数　5　． 【解答】解：设这个商除以4得余数3时所得商为x， 则这个商为4x+3， 这个自数数为：（4x+3）×3+2＝12x+11＝6×（2x+1）+5， 所以若用这个自然数除以6，得余数5． 故答案为：5． 4．（5分）数一数图中有　18　个正方形． 【解答】解：1个小正方形的个数为：13个； 含有4个小正方形的大正方形的个数为：4； 含有9个小正方形的大正方形的个数为：1． 故有13+4+1＝18个正方形． 或直接利用公式先求中间由9个小正方形组成的正方形一共有：32+22+12＝14， 加上四周的4个共14+4＝18个． 故答案为：18． 5．（5分）有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数．（注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积，立方数可以写成三个自然数的乘积）．如：1＝1×1＝1×1×1 64＝8×8＝4×4×4．那么，1000以内的自然数中，这样的数有　3　个． 【解答】解：既是平方数，又是立方数的数一定是完全六次方数， 所以：16＝1，26＝64，36＝729，46＝4096… 而46＝4096超过了1000，所以共有3个． 故答案为：3． 6．（5分）有一个自然数，它的最小的两个约数的差是4，最大的两个约数的差是308，则这个自然数是　385　． 【解答】解：因为，最小的约数为1，所以第二小的约数为1+4， 因此最大的约数为本身x，第二大的约数为x÷5， 所以，x﹣x÷5＝308， x﹣＝308， x＝308， x＝308， x＝308×， x＝385； 故答案为：385． 7．（5分）如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉．如此不断操作下去，圆圈上的5个棋子中最多有　3　个白子． 【解答】解：由上图可以看出，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上白子最多能有3个． 答：圆圈上的5个棋子中最多有3个白棋子． 故答案为：3． 8．（5分）甲乙两人分别从AB两地同时相向而行，甲的速度是乙的3倍．经过60分钟，两人相遇，然后，甲的速度减为原速的一半，乙的速度不变，两人各自继续前行，那么，当甲到达B地后，再经过　140　分钟，乙到达A地． 【解答】解：设乙的速度是x米/分钟，则甲的速度是3x米/分钟， 相遇后甲到达B地的时间：60x÷（3x÷2）， ＝60x÷1.5x， ＝40（分钟）； 相遇后已到达A地的时间：（60×3x）÷x， ＝180x÷x， ＝180（分钟）； 180﹣40＝140（分钟）； 答：当甲到达B地后，再经过140分钟，乙到达A地． 故答案为：140． 9．（5分）如图，将一个棱长为1米的正方体木块分别沿长宽高三个方向锯开1，2，3次得到24个长方形木块，这24个长方形木块的表面积的和是　18　平方米． 【解答】解：12×6+（2+4+6）×12 ＝6+12 ＝18（m2）． 故答案为：18． 10．（5分）如图，小丽和小明的桶中原来各装有3千克和5千克水，依据图中的信息可知，小丽的桶最多可以装　3.2　千克水，小明的桶最多可以装　6.4　千克水． 【解答】解：设小丽的桶最多可以装x千克水，则小明的桶最多可以装（8﹣0.5x）千克水，根据题意可得方程： 5﹣（x﹣3）＝（8﹣0.5x）×， x＝2， x＝3.2， 8﹣0.5×3.2＝6.4（千克）， 答：小丽的桶最多能装3.2千克，小明的桶最多可装6.4千克． 故答案为：3.2；6.4． 11．（5分）将1～2011的奇数排成一列，然后按每组1，2，3，2，1，2，3，2，1，…个数的规律分组如下（每个括号为一组）： （1）（3，5）（7，9，11）（13，15）（17）（19，21）（23，25，27）（29，31）（33）… 则最后一个括号内的各数之和是　6027　． 【解答】解：1+2+3+2＝8，即分组规律为每8个数一循环， 2010÷2+1＝1006（个）， 1006÷8＝125…6． 1～2011中最后6个奇数为：（2001），（2003，2005），（2007，2009，2011）． 则最后一个括号内的各数之和为：2007+2009+2011＝6027． 故答案为：6027． 12．（5分）当爷爷的年龄是爸爸年龄的2倍时，小明1岁；当爸爸的年龄是小明的年龄的8倍时，爷爷61岁．那么，爷爷比小明大　57　岁；当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸的年龄是　31　岁． 【解答】解：（1）设爷爷比小明大x岁，根据题意可得方程： x+1﹣＝61﹣8×（61﹣x）， 整理可得：15x＝855， x＝57， （2）小明1岁时，爷爷的年龄是：57+1＝58（岁），爸爸的年龄是：58÷2＝29（岁）； 所以爷爷与爸爸的年龄差是：58﹣29＝29（岁），爸爸与小明的年龄差是：29﹣1＝28（岁）． 设当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸的年龄为y岁，根据题意可得方程： 29+y＝20×（y﹣28）， 19y＝589， y＝31， 答：爷爷比小明大57岁；当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸的年龄是31岁． 故答案为：57；31． 二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程． 13．（15分）如图，大小两个正方形并排放在一起，请分别在图乙和图丙中阴影标出一个几何图形（不一定是三角形，可以是任意的多边形），使它的面积等于图甲中的阴影面积．（直接作图，不写解答过程） 【解答】解：答案如图， 14．（15分）甲、乙、丙、丁4人去钓鱼，共钓到25条鱼，按数量从多到少的排名是甲、乙、丙、丁．又知甲钓到的鱼的条数是乙和丙钓到鱼的条数的和，乙钓到鱼的条数是丙和丁钓到鱼的条数的和．那么，甲乙丙丁各钓到几条鱼？ 【解答】解：设甲乙丙丁分别钓了a、b、c、d条鱼，且a＞b＞c＞d，根据题意可得方程： a+b+c+d＝25，①； a＝b+c，②； b＝c+d，③； 把③代入②可得：a＝2c+d，④； 把③和④都代入①可得： 4c+3d＝25，解得这个二元一次方程的整数解有： 当c＝1时，d＝7； 当c＝4时，d＝3； 又因为：c＞d，所以符合题意的只有c＝4，d＝3， 所以b＝4+3＝7；a＝7+4＝11； 答：甲乙丙丁分别钓了11条、7条、4条、3条． 15．（15分）A、B两地间有一条公路，甲乙两辆车分别从AB两地同时相向出发，甲车的速度是50千米/时．经过1小时，两车第一次相遇．然后两车继续行驶，各自到达B、A两地后都立即返回，第二次相遇点与第一次相遇点的距离是20千米．求： （1）AB两地的距离． （2）乙车的速度． 【解答】解：（1）第二次相遇地点距A地50+20＝70千米时， AB两地的距离为： （50×3+50+20）÷2 ＝220÷2， ＝110（千米）． 答：AB两地的距离为110千米． 乙车的速度为： 110÷1﹣50 ＝110﹣50， ＝60（千米/小时）． 答：乙车的速度为60千米/小时． 成第二次相遇时距离A地50﹣20＝30千米时： （50×3+50﹣20）÷2 ＝180÷2， ＝90（千米）． 答：AB两地的距离为90千米． 乙车的速度为： 90÷1﹣50 ＝90﹣50， ＝40（千米/小时）． 答：乙车的速度为40千米/小时． 16．（15分）观察以下的运算： 若是三位数，因为＝100a+10b+c＝99a+9b+（a+b+c） 所以，若a+b+c能被9整除，能被9整除． 这个结论可以推广到任意多位数． 运用以上的结论，解答以下问题： （1）N是2011位数，每位数字都是2，求N被9除，得到的余数． （2）N是n位数，每位数字都是7，n是被9除余3的数．求N被9除，得到的余数． 【解答】解：（1）2011×2＝4022； 4022÷9＝446…8， 所以N被9除，得到的余数是8； （2）自然数N各个数位上数字之和为7n；由于n÷9余3，所以不妨设n＝9k+3， 则7n＝7（9k+3）＝63k+21＝（63k+18）+3＝9（7k+2）+3； 那么N﹣3的各个数位上数字和为7n﹣3＝9（7k+2）能被9整除，所以N﹣3能被9整除，所以N被9除的余数也是3． 答：（1）N被9除，得到的余数是9，（2）N被9除，得到的余数是3． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/4/22 16:45:13；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800 第10页（共10页）