2010年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小学组笔试二）.doc

2010年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小学组笔试二） 一、填空题（每题20分，共60分） 1．（20分）如图，∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝3，DC＝5，BC＝6，BE＝EF＝FC，AF交DE于G．则三角形DFG与三角形AGE面积的和为　 　． 2．（20分）在正八边形的8个顶点和中心O处放上9个不同的自然数，使得位于每对平行边与中心O上的5个数之和都等于位于顶点的8个数之和．那么位于中心O处的数最小是　 　． 3．（20分）如图，对A，B，C，D，E，F，G七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域着不同的颜色．那么有　 　种不同的着色方法． 二、解答题（每题20分，共60分） 4．（20分）对于平面上垂直的两条直线a和b，称 （a，b） 为一个“垂直对”，而a和b都是属于这个“垂直对”的直线．那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”？ 5．（20分）方格网上有三个地点A，B，C，每个小方格的边长为100米．如果沿着网格线修路把三个地点连起来，问：修的总路长最短为多少米？ 6．（20分）自然数a，b满足23a﹣13b＝1，求a+b的最小值． 2010年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小学组笔试二） 参考答案与试题解析 一、填空题（每题20分，共60分） 1．（20分）如图，∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝3，DC＝5，BC＝6，BE＝EF＝FC，AF交DE于G．则三角形DFG与三角形AGE面积的和为　　． 【分析】过E点作EH⊥BC交AF于H，过F点作FI⊥BC交DE于I，根据等高的三角形面积比等于底之比求解即可． 【解答】解：过E点作EH⊥BC交AF于H，过F点作FI⊥BC交DE于I， 因为∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝3，DC＝5，BC＝6，BE＝EF＝FC， 所以EH＝1.5，FI＝2.5，三角形EFH面积＝三角形AEH面积＝2×3÷2÷2＝1.5， 三角形EFI面积＝三角形FID面积＝2×5÷2÷2＝2.5． 所以HG：GF＝1.5：2.5，IG：GE＝2.5：1.5， 所以三角形EGH面积＝1.5×1.5÷（1.5+2.5）＝， 三角形GFI面积＝2.5×2.5÷（1.5+2.5）＝． 故三角形DFG与三角形AGE面积的和＝三角形AEH面积+三角形EGH面积+三角形FID面积+三角形GFI面积， ＝1.5+++2.5＝． 故答案为：． 2．（20分）在正八边形的8个顶点和中心O处放上9个不同的自然数，使得位于每对平行边与中心O上的5个数之和都等于位于顶点的8个数之和．那么位于中心O处的数最小是　14　． 【分析】设这9个数分别为A，B，C，D，E，F，G，H，O．然后根据题意列出式子，求出O的最小值． 【解答】解：由题意可知：A+B+E+F+O＝B+C+F+G+O＝C+D+G+H+O＝D+E+H+A+O＝A+B+C+D+E+F+G+H， 整理得：A+E＝C+G，B+F＝D+H， 所以A+B+C+D+E+F+G+H＝2O， 即当A，B，C，D，E，F，G，H为0，1，2，3，4，5，6，7时，O最小， 即O＝•（0+1+2+3+4+5+6+7）＝14． 故答案为：14． 3．（20分）如图，对A，B，C，D，E，F，G七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域着不同的颜色．那么有　2880　种不同的着色方法． 【分析】将问题分解为七步进行：A→B→C→D→E→F→G，得到每一步的着色方式，利用乘法原理解答即可． 【解答】解：对这五个区域，我们分五步依次给予着色： （1）区域A共有5种着色方式； （2）区域B因不能与区域A同色，故共有4种着色方式； （3）区域C因不能与区域B同色，故共有4种着色方式； （4）区域D因不能与区域A，B，C同色，故共有2种着色方式； （5）区域E因不能与区域A，D同色，故共有3种着色方式． （6）区域F因不能与区域D，E同色，故共有3种着色方式． （7）区域G因不能与区域A，E，F同色，故共有2种着色方式． 于是，根据乘法原理共有5×4×4×2×3×3×2＝2880种不同的着色方式． 故答案为：2880． 二、解答题（每题20分，共60分） 4．（20分）对于平面上垂直的两条直线a和b，称 （a，b） 为一个“垂直对”，而a和b都是属于这个“垂直对”的直线．那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”？ 【分析】如下图：当二十条直线有10条互相平行；另10条不仅互相平行而且与前10条垂直时垂直对最多共100对． 【解答】解：当二十条直线有10条互相平行；另10条不仅互相平行而且与前10条垂直时垂直对最多． 10×10＝100（对） 答：平面上有二十条直线时最多可组成100个“垂直对”． 5．（20分）方格网上有三个地点A，B，C，每个小方格的边长为100米．如果沿着网格线修路把三个地点连起来，问：修的总路长最短为多少米？ 【分析】由于要沿着网格线修路把三个地点连起来，可以先找到交点D，再分别求出各段的长相加即可． 【解答】解：如图所示， 可得100×4+100×3+100×2+100＝1000（米）． 答：修的总路长最短为1000米． 6．（20分）自然数a，b满足23a﹣13b＝1，求a+b的最小值． 【分析】由23a﹣13b＝1，可得13b＝23a﹣1＝26a﹣（3a+1），得到b关于a的解的形式：b＝26a÷13﹣（3a+1）÷13＝2a﹣（3a+1）÷13．因为a、b都是自然数，因此3a+1能被13整除，显然a最小为4，b同时取得最小值b＝7，进而求得a+b的最小值． 【解答】解：由23a﹣13b＝1，可得13b＝23a﹣1＝26a﹣（3a+1） 推出b＝26a÷13﹣（3a+1）÷13＝2a﹣（3a+1）÷13 要使3a+1能被13整除， 显然a最小为4，b同时取得最小值b＝7 所以a+b最小值＝4+7＝11． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/7 10:52:46；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800 第6页（共6页）