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1-3-6
公式运用.教师版
公式
运用
教师版
公式法计算
知识点拨
一、常用公式
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. 等比数列求和公式:();
6. 平方差公式:;
7. 完全平方公式:,;
用文字表述为:两数和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的倍,两条公式也可以合写在一起:.为便于记忆,可形象的叙述为:“首平方,尾平方,倍乘积在中央”.
二、常用技巧
1. ;
2. ;
3. ,,,
,,;
4. ,其中.
例题精讲
一、前项和
【例 1】
【考点】公式法之求和公式 【难度】2星 【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】
【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
【答案】
【例 2】 计算:
【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
【答案】
【例 3】 计算:
【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
【答案】
【巩固】 计算:___________.
【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 与公式相比,缺少偶数项,所以可以先补上偶数项.
原式
【答案】
【例 4】 计算:
【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 原式
【答案】
【例 5】 计算: 。
【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】西城实验
【解析】 原式
其中也可以直接根据公式得出
【答案】
【例 6】 计算:
【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 分拆 (),()再用公式
原式
【答案】
【例 7】 对自然数和,规定,例如,那么:
⑴ ______________;
⑵ ______________.
【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 ⑴ 原式
⑵ 原式
【答案】⑴ ⑵
【巩固】 看规律 ,,……,试求
【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】人大附中
【解析】 原式
【答案】
【例 8】 计算:
【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 法一:利用等比数列求和公式。
原式
法二:错位相减法.
设
则,,整理可得.
法三:本题与例3相比,式子中各项都是成等比数列,但是例3中的分子为3,与公比4差1, 所以可以采用“借来还去”的方法,本题如果也要采用“借来还去”的方法,需要将每一项
的分子变得也都与公比差1.由于公比为3,要把分子变为2,可以先将每一项都乘以2进行算,最后再将所得的结果除以2即得到原式的值.
由题设,,则运用“借来还去”的方法可得到,
整理得到.
【答案】
【例 9】 计算的值。(已知,,,,,,,)
【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 注意到式子的特点是从第一个加数开始,每一个加数比前一个加数的指数减少,的指数增加.所以每一个加数是前一个加数的倍,如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为的等比数列,于是按照错位减法进行运算即可。
记,
,那么,即原式的值为.
【答案】
【例 10】 .
【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】浙江省,小学数学活动课夏令营
【解析】 原式
【答案】
【解析】 计算: .
【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 原式
【答案】
【解析】
【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 原式
【答案】
【例 11】 计算:
【考点】公式法之求和公式 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 设算式的值为,那么,
,
即,
故,则,
所以,
.
【答案】
二、平方差与完全平方公式
【例 12】 ⑴________;
⑵________.
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】浙江省,小学数学活动课夏令营
【解析】 ⑴ 观察可知31415925和31415927都与31415926相差1,设,
原式
⑵ 原式
【答案】⑴ ⑵
【巩固】
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯,3年级,初赛
【解析】 方法一:原式
方法二:原式
【答案】
【巩固】
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯,3年级,初赛
【解析】 原式
【答案】
【巩固】 计算:= 。
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯,6年级,决赛
【解析】 题目分析:答案为100000。记原式为X,则
10X=314×314+628×686+686×686
=3142+2×314×686+6862
=(314+686)2=1000000,所以,X=100000。
【答案】
【例 13】 有一串数,,,,,……它们是按一定规律排列的,那么其中第个数与第个数相差多少?
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 这串数中第个数是,而第个数是,它们相差
【答案】
【巩固】 代表任意数字,若,这个公式在数学上称为平方差公式.根据公式,你来巧算下列各题吧.
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 这个公式可以给我们的计算带来很多便利,在以后的奥数学习中会经常遇到,同学们最好记住哦.我们就依据公式来进行下面的计算:
⑴
⑵
⑶
⑷
【答案】⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【例 14】 计算: .
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯,中年级组,决赛
【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和,也可以采用平方差公式.
原式
其中可以直接计算,但如果项数较多,应采用公式
进行计算.
【答案】
【例 15】 .
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】迎春杯,初赛
【解析】 原式
【答案】
三、公式综合运用
【例 16】 计算: .
【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】仁华学校
【解析】 观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列,被乘数依次为1,3,5,……,99,乘数依次为4,7,10,……,151,根据等差数列的相关知识,被乘数可以表示为,乘数可以表示为,所以通项公式为.所以,
原式
另解:如果不进行通项归纳,由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等,可以先将这个差变为相等再进行计算.
原式
而和都是我们非常熟悉的.
,
,
所以原式
小结:从上面的计算过程中可以看出,,而,
所以有
【答案】
【例 17】 计算: .
【考点】公式法之综合运用 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 ,
所以,
,
所以原式
【答案】
【例 18】 计算:
【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】北京二中,入学测试
【解析】 原式
【答案】
【巩固】 计算
【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这个题目重新整理得:
【答案】
【巩固】 计算:.
【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 做这道题的时候,可能有些以前记住了20以内平方数的同学就高兴了,但是其实并不需要,大家看,利用平方差公式:,,,.
于是,原式
【答案】
【例 19】
【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
【答案】
【例 20】 计算: .
【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 原式
【答案】
【巩固】 计算: .
【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的,可以采用平方差公式.
原式
【答案】
【巩固】
【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯,4年级
【解析】 原式
【答案】
【例 21】 计算:
【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
【答案】
【巩固】 计算: .
【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 原式
【答案】
【例 22】 计算:
【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
【答案】
【例 23】 计算:
【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
【答案】
11
教师寄语:拼一个春夏秋冬,换一生无怨无悔。