高二数学人教A必修5练习：2.1.2 数列的通项公式与递推公式 Word版含解析.docx

课时训练6　数列的通项公式与递推公式 一、数列的单调性 1.已知数列an<0,且2an+1=an,则数列{an}是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法判断 答案:A 解析:∵an<0,∴an+1-an=12an-an=-12an>0. ∴数列{an}是递增数列. 2.在数列{an}中,若an=-n2+12n-7,则此数列的最大项的值为　　　　　.  答案:29 解析:an=-(n-6)2+29,所以当n=6时,an最大,解得a6=29. 二、由递推公式求数列中的项 3.若a1=1,an+1=an3an+1,则给出的数列{an}的第7项是(　　) A.116 B.117 C.119 D.125 答案:C 解析:由数列的首项和递推公式可以求出a2=14,a3=17,…,观察得到通项公式an=13n-2,所以a7=119. 4.在数列{an}中,a1=-2,an+1=1+an1-an,则a2 012=(　　) A.-2 B.-13 C.-12 D.3 答案:D 解析:∵a1=-2,an+1=1+an1-an, ∴a2=-13,a3=12,a4=3,a5=-2. ∴该数列是周期数列,周期T=4. 又2 012=503×4,∴a2 012=a4=3. 5.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a5=. 答案:8 解析:由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5, ∴a5=a4+a3=8. 6.已知数列{an}满足a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2 013=　　　　　;a2 014=　　　　　.  答案:1　0 解析:a2 013=a504×4-3=1,a2 014=2a1 007=2a4×252-1=0. 7.数列{an}满足an+1=11-an,a8=2,则a1=　　　　　.  答案:12 解析:a8=11-a7=2,∴a7=12. 又a7=11-a6,∴a6=-1. 又a6=11-a5,∴a5=2. 以此下去,可推出a1=12. 三、由递推关系求通项公式 8.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+1(n≥2),则通项公式为(　　) A.an=1 B.an=2n-1 C.an=n D.an=n+1 答案:C 解析:由an=an-1+1知an-an-1=1, ∴数列的相邻两项中后项比前项大1.∴通项公式为an=n. 9.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=2n-1 B.an=2n-1 C.an=12n-1 D.an=1+12n 答案:A 解析:方法一:由已知a1=1=21-1,a2=2×1+1=3=22-1,a3=2×3+1=7=23-1,…, 由此归纳得an=2n-1. 方法二:∵an+1+1=2(an+1), ∴an+1+1an+1=2,用累乘法可得an+1=2n. ∴an=2n-1. 10.(2015温州高二检测)已知数列{an},a1=1,以后各项由an=an-1+1n(n-1)(n≥2)给出. (1)写出数列{an}的前5项; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)a1=1;a2=a1+12×1=32; a3=a2+13×2=53;a4=a3+14×3=74; a5=a4+15×4=95. (2)由已知得an-an-1=1n(n-1)=1n-1-1n, ∴a2-a1=1-12,a3-a2=12-13,a4-a3=13-14,……,an-an-1=1n-1-1n. 左右分别累加得an-a1=1-1n, 所以an=a1+1-1n=2-1n. (建议用时:30分钟) 1.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2).则a6等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.7 B.11 C.16 D.17 答案:C 解析:由题可知a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16. 2.已知数列{an}中,a1=2,an=-1an-1(n≥2),则a2 015等于(　　) A.-12 B.12 C.2 D.-2 答案:C 解析:∵an+2=-1an+1=an,∴数列奇数项相同,偶数项相同.∴a2 015=a1=2. 3.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1a2a3…an=n2,则a3+a5等于(　　) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 答案:C 解析:由已知得a1a2a3=32a1a2=22⇒a3=94,a1a2a3a4a5=25a1a2a3a4=16⇒a5=2516,∴a3+a5=6116. 4.已知数列{an}的通项公式为an=49n-1-23n-1,则数列{an}(　　) A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项 答案:C 解析:数列{an}的通项公式为an=49n-1-23n-1,令t=23n-1(0<t≤1), 则an=t2-t=t-122-14(0<t≤1). 故数列{an}有最大项和最小项,选C. 5.下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构第n个图有化学键(　　) A.6n个 B.(4n+2)个 C.(5n-1)个 D.(5n+1)个 答案:D 解析:各图中的短线依次为6,6+5,6+5+5,…,若视6为5+1,则这个数列为1+5,1+5+5,1+5+5+5,…,于是第n个图的化学键个数应为an=5n+1. 6.数列{an}满足an+1=2an,0≤an<12,2an-1,12≤an<1.若a1=67,则a9等于　　　　.  答案:37 解析:a1=67∈12,1,∴a2=2a1-1=57, ∴a3=2a2-1=37∈0,12,∴a4=2a3=67, 同理a5=57,a6=37,a7=67,a8=57,a9=37. 7.数列{an}中a1=1,a2=3,an2-an-1·an+1=(-1)n-1(n≥2),那么a4=　　　　.  答案:33 解析:令n=2得a22-a1·a3=-1,∴a3=10. 令n=3代入,得a32-a2a4=(-1)2,∴a4=33. 8.设函数f(x)定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意的自然数均有xn+1=f(xn),则x2 014=　　　　　.  x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 答案:1 解析:x1=f(x0)=f(5)=2, x2=f(x1)=f(2)=1, x3=f(x2)=f(1)=4, x4=f(x3)=f(4)=5=x0, 从而数列{xn}是周期为4的数列,于是x2 014=x4×503+2=x2=1. 9.已知递增数列{an}的通项公式是an=n2+λn,求实数λ的取值范围. 解:∵数列{an}是递增数列,∴an+1>an对n∈N*恒成立. ∵an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ, ∴2n+1+λ>0对n∈N*恒成立, 即λ>-2n-1对n∈N*恒成立, 又当n∈N*时-2n-1≤-3,∴λ>-3. 10.设数列{an},a1=0,an+1=1+an3-an,写出数列的前4项,并归纳出该数列的一个通项公式. 解:a1=0,a2=1+a13-a1=13,a3=1+a23-a2=1+133-13=12,a4=1+a33-a3=1+123-12=35. 直接观察可以发现a3=12可写成a3=24, 这样可知an=n-1n+1(n∈N*,n≥2). 当n=1时,1-11+1=0=a1,所以an=n-1n+1.