高中数学人教A版选修4-1课时跟踪检测（七） 圆内接四边形的性质与判定定理 Word版含解析.doc

课时跟踪检测(七) 圆内接四边形的性质与判定定理 一、选择题 1．四边形ABCD的一个内角∠C＝36°，E是BA延长线上一点，若∠DAE＝36°，则四边形ABCD(　　) A．一定有一个外接圆 B．四个顶点不在同一个圆上 C．一定有内切圆 D．四个顶点是否共圆不能确定 解析：选A　因为∠C＝36°，∠DAE＝36°，所以∠C与∠BAD的一个外角相等，由圆内接四边形判定定理的推论知，该四边形有外接圆，故选A. 2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　) A．4∶2∶3∶1　　　　　　 B．4∶3∶1∶2 C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对 解析：选B　由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B项符合题意． 3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于(　　) A．20° B．40° C．80° D．100° 解析：选C　四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝80°. 4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有(　　) ①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°； ②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形； ③∠A的外角与∠C的外角互补； ④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选B　由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误． 二、填空题 5．如图，直径AB＝10，弦BC＝8，CD平分∠ACB，则AC＝______，BD＝________. 解析：∠ACB＝90°，∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8， ∴AC＝＝6. 又∵CD平分∠ACB，即∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD. ∴BD＝ ＝5. 答案：6　5 6．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，则四边形ABCD的面积为________． 解析：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F. 因为∠ADF＋∠ABC＝180°， ∠ABE＋∠ABC＝180°， 所以∠ABE＝∠ADF. 又因为AB＝AD， ∠AEB＝∠AFD＝90°， 所以Rt△AEB≌Rt△AFD. 所以S四边形ABCD＝S四边形AECF，AE＝AF. 又因为∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC， 所以Rt△AEC≌Rt△AFC. 因为∠ACD＝60°，∠AFC＝90°， 所以∠CAF＝30°.因为AC＝1， 所以CF＝，AF＝， 所以S四边形ABCD＝2S△ACF＝2×CF×AF＝. 答案： 7.如图，已知四边形ABCD内接于圆，分别延长AB和DC相交于点E，EG平分∠E，且与BC，AD分别相交于F，G，若∠AED＝40°，∠CFG＝80°，则∠A＝________. 解析：∵EG平分∠E，∴∠FEC＝20°. ∴∠FCE＝∠CFG－∠FEC＝60°. ∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠A＝∠FCE＝60°. 答案：60° 三、解答题 8.如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2. (1)求证：△CDE∽△CBA； (2)求DE的长． 解：(1)证明：因为四边形ABED为⊙O的内接四边形， 所以∠CED＝∠A(或∠CDE＝∠B)． 又∠C＝∠C， 所以△CDE∽△CBA. (2)法一：连接AE.由(1)得＝， 因为AB为⊙O的直径， 所以∠AEB＝∠AEC＝90°. 在Rt△AEC中，因为∠C＝60°，所以∠CAE＝30°， 所以＝＝，即DE＝2. 法二：连接DO，EO. 因为AO＝DO＝OE＝OB， 所以∠A＝∠ODA，∠B＝∠OEB. 由(1)知∠A＋∠B＝∠CDE＋∠CED＝120°， 又∠A＋∠B＋∠ADE＋∠DEB＝360°， 所以∠ODE＋∠OED＝120°， 则∠DOE＝60°， 所以△ODE为等边三角形， 所以DE＝OB＝2. 9.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED. (1)证明：CD∥AB； (2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆． 证明：(1)因为EC＝ED， 所以∠EDC＝∠ECD. 因为A，B，C，D四点在同一圆上， 所以∠EDC＝∠EBA. 故ECD＝∠EBA. 所以CD∥AB. (2)由(1)知，AE＝BE. 因为EF＝EG， 故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC. 连接AF，BG，则△EFA≌△EGB， 故∠FAE＝∠GBE. 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD， 所以∠FAB＝∠GBA. 所以∠AFG＋∠GBA＝180°. 故A，B，G，F四点共圆． 10．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C与点D分别是劣弧与优弧上的任一点(点C，D均不与A，B重合)． (1)求∠ACB； (2)求△ABD的最大面积． 解：(1)连接OA，OB，作OE⊥AB，E为垂足，则AE＝BE. Rt△AOE中，OA＝2， AE＝AB＝×2＝. ∴sin ∠AOE＝＝， ∴∠AOE＝60°，∠AOB＝2∠AOE＝120°. 又∠ADB＝∠AOB，∴∠ADB＝60°. 又四边形ACBD为圆内接四边形，∴∠ACB＋∠ADB＝180°. 从而有∠ACB＝180°－∠ADB＝120°. (2)作DF⊥AB，垂足为F，则 S△ABD＝AB·DF＝×2×DF＝DF. 显然，当DF经过圆心O时，DF取最大值，从而S△ABD取得最大值． 此时DF＝DO＋OF＝3，S△ABD＝3， 即△ABD的最大面积是3.