第三章 3.4（一）.doc

§3.4　基本不等式：≤(一) 课时目标 1．理解基本不等式的内容及其证明； 2．能利用基本不等式证明简单不等式． 1．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)． 2．若a，b都为正数，那么≥(当且仅当a＝b时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． 3．基本不等式的常用推论 (1)ab≤2≤ (a，b∈R)； (2)当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2. (3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2. (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)． 一、选择题 1．已知a>0，b>0，则，， ，中最小的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　特殊值法． 令a＝4，b＝2，则＝3，＝， ＝，＝.∴最小． 方法二　＝，由≤≤≤ ，可知最小． 2．已知m＝a＋ (a>2)，n＝x2－2 (x<0)，则m、n之间的大小关系是(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．m≤n 答案　A 解析　∵m＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4， n＝22－x2<22＝4.∴m>n. 3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　) A．1≤ab≤ B．ab<1< C．ab<<1 D.<ab<1 答案　B 解析　∵ab≤2，a≠b，∴ab<1， 又∵>>0， ∴>1，∴ab<1<. 4．已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2，其中最大的一个是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 答案　D 解析　因为a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b>2，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0<a<1,0<b<1，所以a－1<0，b－1<0，因此a2＋b2<a＋b，所以a＋b最大． 5．设0<a<b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是(　　) A. B．b C．2ab D．a2＋b2 答案　B 解析　∵ab<2，∴ab<，∴2ab<. ∵>>0，∴ >， ∴a2＋b2>. ∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2 ＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大． 6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为(　　) A．0 B．－2 C．－ D．－3 答案　B 解析　x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立 ⇔ax≥－x2－1⇔a≥max. ∵x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2. 二、填空题 7．若a<1，则a＋有最______值，为________． 答案　大　－1 解析　∵a<1，∴a－1<0， ∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)， ∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1. 8．若lg x＋lg y＝1，则＋的最小值为________． 答案　2 解析　∵lg x＋lg y＝1，∴xy＝10，x>0，y>0， ∴＋＝＋≥2(x＝2时取等号)． 9．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________． 答案　3 解析　∵x>0，y>0且1＝＋≥2， ∴xy≤3.当且仅当＝时取等号． 10．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________． 答案　 解析　∵x>0，∴>0，易知a>0. ∴≥， ∴≤x＋＋3. ∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5(x＝1时取等号)， ∴≤5.∴a≥. 三、解答题 11．设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明　∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数． ∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b， 三式相加得2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c. 12．a>b>c，n∈N且＋≥，求n的最大值． 解　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0. ∵＋≥， ∴n≤＋. ∵a－c＝(a－b)＋(b－c)， ∴n≤＋， ∴n≤＋＋2. ∵＋≥2 ＝2(2b＝a＋c时取等号)． ∴n≤4.∴n的最大值是4. 能力提升 13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 答案　C 解析　只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可， 又(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2 ＝a＋2 ＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2 ＋1≥9， 即()2＋2 －8≥0求得≥2或≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4. 14．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1. 求证：＋＋<＋＋. 证明　∵＋≥2 ＝2， ＋≥2 ＝2， ＋≥2 ＝2， ∴2≥2(＋＋)， 即＋＋≥＋＋. ∵a，b，c为不等正实数， ∴＋＋<＋＋. 1．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)≤≤≤≤ ≤max(a，b)．当且仅当a＝b时，取到等号． 2．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解． 一方面：当a＝b时，＝； 另一方面：当＝时，也有a＝b.