第一章1.1.1(二).doc

1.1.1　正弦定理(二) 课时目标 1．熟记正弦定理的有关变形公式； 2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明． 1．正弦定理：＝＝＝2R的常见变形： (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (2)＝＝＝＝2R； (3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝. 2．三角形面积公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B. 一、选择题 1．在△ABC中，sin A＝sin B，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案　D 2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　由正弦定理知：＝＝， ∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C. 3．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是(　　) A. B．(10，＋∞) C．(0,10) D. 答案　D 解析　∵＝＝，∴c＝sin C. ∴0<c≤. 4．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 答案　A 解析　由a＝2bcos C得，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， ∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于(　　) A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6 答案　B 解析　∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6， ∴＝＝. 令＝＝＝k (k>0)， 则，解得. ∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3. 6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为(　　) A．1 B．2 C. D．4 答案　A 解析　设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π， 得R＝1，由S△＝absin C＝＝＝，∴abc＝1. 二、填空题 7．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________. 答案　2 解析　∵cos C＝，∴sin C＝， ∴absin C＝4，∴b＝2. 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________. 答案　2 解析　由正弦定理＝，得＝， ∴sin B＝，故B＝30°或150°.由a>b， 得A>B，∴B＝30°，故C＝90°， 由勾股定理得c＝2. 9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________. 答案　7 解析　∵△ABC的外接圆直径为2R＝2， ∴＝＝＝2R＝2， ∴＋＋＝2＋1＋4＝7. 10．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________. 答案　12　6 解析　＝＝＝12. ∵S△ABC＝absin C＝×6×12sin C＝18， ∴sin C＝，∴＝＝12，∴c＝6. 三、解答题 11．在△ABC中，求证：＝. 证明　因为在△ABC中，＝＝＝2R， 所以左边＝ ＝＝＝＝右边． 所以等式成立，即＝. 12．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状． 解　设三角形外接圆半径为R，则a2tan B＝b2tan A ⇔＝ ⇔＝ ⇔sin Acos A＝sin Bcos B ⇔sin 2A＝sin 2B ⇔2A＝2B或2A＋2B＝π ⇔A＝B或A＋B＝. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 能力提升 13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　　) A．45° B．60° C．75° D．90° 答案　C 解析　设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°， ∴＝ ＝ ＝＋＝＝＋， ∴tan A＝1，A＝45°，C＝75°. 14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝， cos ＝，求△ABC的面积S. 解　cos B＝2cos2 －1＝， 故B为锐角，sin B＝. 所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin＝. 由正弦定理得c＝＝， 所以S△ABC＝acsin B＝×2××＝. 1．在△ABC中，有以下结论： (1)A＋B＋C＝π； (2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C； (3)＋＝； (4)sin ＝cos ，cos ＝sin ，tan ＝. 2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．