第3章3.1.2知能优化训练.doc

1．已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 132.1 15.4 －2.31 8.72 －6.31 －125.1 12.6 那么，函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　) A．5个　　　　　　　　　　 B．4个 C．3个 D．2个 解析：选C.观察对应值表可知，f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，f(6)＜0，f(7)＞0，∴函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个，故选C. 2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间(　　) A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D. 不能确定 解析：选B.由已知f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0， ∴f(1.25)f(1.5)＜0，因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内，故选B. 3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.4375)＝0.162 f(1.40625)＝－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为(　　) A．1.25 B．1.375 C．1.4375 D．1.5 解析：选C.根据题意知函数的零点在1.40625至1.4375之间，因为此时|1.4375－1.40625|＝0.03125<0.1，故方程的一个近似根可以是1.4375. 4．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________． 解析：设f(x)＝x3－2x－5，∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，又f(2.5)＝5.625＞0， ∴f(2)·f(2.5)＜0，因此，下一个有根区间是(2,2.5)． 答案：(2,2.5) 1．定义在R上的奇函数f(x)(　　) A．未必有零点 B．零点的个数为偶数 C．至少有一个零点 D．以上都不对 解析：选C.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0， ∴f(x)至少有一个零点，且f(x)零点的个数为奇数． 2．下列函数零点不能用二分法求解的是(　　) A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝lnx＋3 C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1 解析：选C.对于C，f(x)＝(x＋)2≥0，不能用二分法． 3．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间(　　) A．(，) B．(，) C．(，1) D．(1,2) 解析：选C.f()＝－＜0，f()＝－＜0， f()＝－1＜0，f(1)＝1＞0，f(2)＝4＞0， ∴函数零点落在区间(，1)上． 4．已知f(x)＝－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0.1)，则需要将区间等分的次数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选B.由求解方程近似解的步骤可知需将区间等分4次． 5．用二分法判断方程()x＝x2的根的个数是(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解析：选C.设y1＝()x，y2＝x2，在同一坐标系下作图象(略)可知，它们有两个交点，∴方程()x＝x2有两个根．故选C. 6．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　) A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 解析：选C.观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求，故选C. 7．若方程x3－x＋1＝0在区间(a，b)(a，b是整数，且b－a＝1)上有一根，则a＋b＝________. 解析：设f(x)＝x3－x＋1，则f(－2)＝－5<0，f(－1)＝1>0可得a＝－2，b＝－1，∴a＋b＝－3. 答案：－3 8．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.6000)＝0.200 f(1.5875)＝0.133 f(1.5750)＝0.067 f(1.5625)＝0.003 f(1.5562)＝－0.029 f(1.5500)＝－0.060 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确到0.01)为________． 解析：注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56. 答案：1.56 9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)． 解析：因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1， 所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解． 答案：0.75或0.6875 10．利用二分法求方程x2－2＝0的一个正根的近似值．(精确到0.1) 解：对于f(x)＝x2－2，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的，∵f(1)·f(2)＜0，∴f(x)＝x2－2在(1,2)内有一个零点，即方程x2－2＝0在(1,2)内有一个实数解，取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝1.52－2＝0.25＞0，又f(1)＜0，所以方程在(1,1.5)内有解，如此下去，得方程x2－2＝0，正实数解所在区间如下： 　　　第1次　第2次　第3次　第4次　第5次　第6次　… 左端点　1　　　1　　1.25 　 1.375　1.375　1.40625… 右端点　2　 　 1.5　　1.5　　1.5 　1.4375　1.4375… ∴方程的一个正根的近似值为1.4. 11．确定函数f(x)＝logx＋x－4的零点个数． 解： 设y1＝logx，y2＝4－x，则f(x)的零点个数，即y1与y2的交点个数，作出两函数图象如图． 由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点， 当x＝4时，y1＝－2，y2＝0； 当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4， ∴在(4,8)内两曲线又有一个交点， ∴两曲线有两个交点， 即函数f(x)＝logx＋x－4有两个零点． 12．求的近似值(精确度0.01)． 解：设x＝，则x3－2＝0.令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点的近似值． 由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间． 用二分法逐步计算，列表如下： 区间 中点 中点函数近似值 [1,2] 1.5 1.375 [1,1.5] 1.25 －0.0469 [1.25,1.5] 1.375 0.5996 [1.25,1.375] 1.3125 0.2610 [1.25,1.3125] 1.28125 0.1033 [1.25,1.28125] 1.265625 0.0273 [1.25,1.265625] 1.2578125 －0.01 [1.2578125,1.265625] 区间[1.2578125,1.265625]的长度1.265625－1.2578125＝0.0078125<0.01，所以这个区间的两个端点都可以作为函数f(x)零点的近似值，即的近似值可以是1.2578125或1.265625. 第 3 页 共 3 页