高二数学人教A必修5练习：2.5.1 等比数列的前n项和 Word版含解析.docx

课时训练13　等比数列的前n项和 一、等比数列前n项和公式的应用 1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项的和等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.31 B.33 C.35 D.37 答案:B 解析:∵S5=1,∴a1(1-25)1-2=1,即a1=131. ∴S10=a1(1-210)1-2=33. 2.设首项为1,公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(　　) A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 答案:D 解析:Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q=1-23an1-23=3-2an, 故选D. 3.(2015福建厦门高二期末,7)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若27a2-a5=0,则S4S2等于(　　) A.-27 B.10 C.27 D.80 答案:B 解析:设等比数列{an}的公比为q, 则27a2-a2q3=0,解得q=3, ∴S4S2=a1(1-q4)1-q·1-qa1(1-q2)=1+q2=10.故选B. 4.(2015课标全国Ⅰ高考,文13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=　　　　　.  答案:6 解析:∵an+1=2an,即an+1an=2, ∴{an}是以2为公比的等比数列. 又a1=2,∴Sn=2(1-2n)1-2=126. ∴2n=64,∴n=6. 5.设数列{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|=　　　　　.  答案:15 解析:由数列{an}首项为1,公比q=-2,则an=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15. 二、等比数列前n项和性质的应用 6.一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为(　　) A.180 B.108 C.75 D.63 答案:D 解析:由性质可得S7,S14-S7,S21-S14成等比数列,故(S14-S7)2=S7·(S21-S14). 又∵S7=48,S14=60,∴S21=63. 7.已知数列{an},an=2n,则1a1+1a2+…+1an=　　　　　.  答案:1-12n 解析:由题意得:数列{an}为首项是2,公比为2的等比数列,由an=2n,得到数列{an}各项为:2,22,…,2n,所以1a1+1a2+…+1an=12+122+…+12n.所以数列1an是首项为12,公比为12的等比数列.则1a1+1a2+…+1an=12+122+…+12n=121-12n1-12=1-12n. 8.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an-1=128,Sn=126,求n和q. 解:∵a2an-1=a1an,∴a1an=128. 解方程组a1an=128,a1+an=66,得a1=64,an=2,①或a1=2,an=64.② 将①代入Sn=a1-anq1-q=126,可得q=12, 由an=a1qn-1,可得n=6. 将②代入Sn=a1-anq1-q=126,可得q=2, 由an=a1qn-1可解得n=6. 综上可得,n=6,q=2或12. 三、等差、等比数列的综合应用 9.已知数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,设cn=abn,Tn=c1+c2+…+cn,当Tn>2 013时,n的最小值为(　　) A.7 B.9 C.10 D.11 答案:C 解析:由已知an=2n-1,bn=2n-1, ∴cn=abn=2×2n-1-1=2n-1. ∴Tn=c1+c2+…+cn=(21+22+…+2n)-n=2×1-2n1-2-n=2n+1-n-2. ∵Tn>2 013, ∴2n+1-n-2>2 013,解得n≥10, ∴n的最小值为10,故选C. 10.已知公差不为0的等差数列{an}满足S7=77,a1,a3,a11成等比数列. (1)求an; (2)若bn=2an,求{bn}的前n项和Tn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),由S7=7(a1+a7)2=77可得7a4=77,则a1+3d=11　①. 因为a1,a3,a11成等比数列,所以a32=a1a11,整理得2d2=3a1d. 又d≠0,所以2d=3a1　②, 联立①②,解得a1=2,d=3,所以an=3n-1. (2)因为bn=2an=23n-1=4·8n-1,所以{bn}是首项为4,公比为8的等比数列. 所以Tn=4(1-8n)1-8=23n+2-47. (建议用时:30分钟) 1.在等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189,则n的值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.5 B.4 C.6 D.7 答案:C 解析:显然q≠1,由an=a1·qn-1,得96=3×qn-1. 又由Sn=a1-anq1-q,得189=3-96q1-q. ∴q=2.∴n=6. 2.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1,S3,S2成等差数列,则{an}的公比等于(　　) A.1 B.12 C.-12 D.1+52 答案:C 解析:设等比数列{an}的公比为q, 由2S3=S1+S2,得2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,整理得2q2+q=0, 解得q=-12或q=0(舍去).故选C. 3.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于(　　) A.2 B.12 C.4 D.14 答案:C 解析:a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得a4-a3=3a3即a4=4a3,∴q=4. 4.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则S5S2=(　　) A.11 B.5 C.-8 D.-11 答案:D 解析:设等比数列的首项为a1,公比为q, 则8a1q+a1q4=0,解得q=-2. ∴S5S2=a1(1-q5)1-qa1(1-q2)1-q=1-q51-q2=-11. 5.设{an}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是(　　) A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X) C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X) 答案:D 解析:Sn=X,S2n-Sn=Y-X,S3n-S2n=Z-Y, 不妨取等比数列{an}为an=2n, 则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列, ∴(Y-X)2=X(Z-Y),整理得D正确. 6.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于　　　　.  答案:6 解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以Sn=2(1-2n)1-2=2(-1+2n)≥100, ∴2n≥51, ∴n≥6. 7.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列1an的前5项和为　　　　.  答案:3116 解析:易知公比q≠1. 由9S3=S6,得9×a1(1-q3)1-q=a1(1-q6)1-q, 解得q=2. ∴1an是首项为1,公比为12的等比数列. ∴其前5项和为1-1251-12=3116. 8.在等比数列{an}中,若a1=12,a4=-4,则公比q=　　　　;|a1|+|a2|+…+|an|=　　　　.  答案:-2　2n-1-12 解析:设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,代入数据解得q3=-8,所以q=-2;等比数列{|an|}的公比为|q|=2,则|an|=12×2n-1, 所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=12(1+2+22+…+2n-1)=12(2n-1)=2n-1-12. 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=4,a3+a4=17. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=2an+2,证明数列{bn}是等比数列并求其前n项和Tn. (1)解:设等差数列{an}的公差为d. 由题意知a3+a4=a1+2d+a1+3d=17,a2=a1+d=4, 解得a1=1,d=3, ∴an=3n-2(n∈N*). (2)证明:由题意知,bn=2an+2=23n(n∈N*), bn-1=23(n-1)=23n-3(n∈N*,n≥2), ∴bnbn-1=23n23n-3=23=8(n∈N*,n≥2), 又b1=8,∴{bn}是以b1=8,公比为8的等比数列. ∴Tn=8×(1-8n)1-8=87(8n-1). 10.已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R),且1a1,1a2,1a4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对n∈N*,试比较1a2+1a22+1a23+…+1a2n与1a1的大小. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 由题意可知1a22=1a1·1a4, 即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而a1d=d2, 因为d≠0,∴d=a1=a. 故通项公式an=na. (2)记Tn=1a2+1a22+…+1a2n, 因为a2n=2na, 所以Tn=1a12+122+…+12n =1a·121-12n1-12=1a1-12n. 从而,当a>0时,Tn<1a1; 当a<0时,Tn>1a1.