高中数学人教版选修1-2课时提升作业（五） 2.2.1.1 综合法 探究导学课型 Word版含答案.doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 课时提升作业(五) 综　合　法 (25分钟　60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2，a2=1，则a1等于(　　) A. B. C. D.2 【解析】选B.由a3·a9=2知·q10=2·q8， 所以q2=2，因为q>0， 所以q=，a1===. 【补偿训练】如果公差不为零的等差数列中的第二、第三、第六项构成等比数列，那么这个等比数列的公比等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.设等差数列的首项为a1，公差为d，等比数列的公比为q(q≠0)，则a2=a1+d，a3=a1+2d，a6=a1+5d. 因为a2，a3，a6构成等比数列， 所以=a2·a6，所以a1=-，所以q==3. 2.(2015台州高二检测)设a，b∈R，且a≠b，a+b=2，则必有(　　) A.1≤ab≤ B.<ab<1 C.ab<<1 D.ab<1< 【解析】选D.因为a+b=2且a≠b， 所以ab<()2=1，>()2=1. 所以>1>ab. 【补偿训练】设a>0，b>0且ab-(a+b)≥1，则(　　) A.a+b≥2(+1) B.a+b≤+1 C.a+b≤(+1)2 D.a+b>2(+1) 【解析】选A.由条件知a+b≤ab-1≤-1， 令a+b=t，则t>0且t≤-1， 解得t≥2+2. 3.(2014·天津高考)设{an}是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1=(　　) A.2 B.-2 C. D.- 【解析】选D.因为S2=2a1-1，S4=4a1+×(-1)=4a1-6，且S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1-1)2=a1(4a1-6)，解得a1=-. 4.(2015烟台高二检测)如果x>0，y>0，x+y+xy=2，则x+y的最小值是(　　) A. B.2-2 C.1+ D.2- 【解析】选B.由x>0，y>0，x+y+xy=2， 则2-(x+y)=xy≤， 所以(x+y)2+4(x+y)-8≥0， 所以x+y≥2-2或x+y≤-2-2. 因为x>0，y>0，所以x+y的最小值为2-2. 5.(2015·郑州高二检测)若钝角三角形ABC三内角A，B，C的度数成等差数列且最大边与最小边的比为m，则m的取值范围是(　　) A.(2，+∞) B.(0，2) C. D.[2，+∞) 【解析】选A.设三角形的三边从小到大依次为a，b，c， 因为三内角的度数成等差数列， 所以2B=A+C. 则A+B+C=3B=180°，可得B=60°. 根据余弦定理得cosB=cos60°==. 得b2=a2+c2-ac， 因三角形ABC为钝角三角形， 故a2+b2-c2<0. 于是2a2-ac<0，即>2. 又m=，即m∈(2，+∞). 二、填空题(每小题5分，共15分) 6.(2014·绵阳高二检测)等比数列{an}各项为正数，且3是a5和a6的等比中项，a1·a2·…·□等于310，则□内应填　　　　　　. 【解析】由题意，a5·a6=·q9=32，a1·a2·…·a10=q45=(q9)5=(32)5=310. 答案：a10 【一题多解】因为a5·a6=32，由等比数列的性质知a1·a10=a2·a9=…=a5·a6， 所以a1·a2·…·a10=(a5·a6)5=(32)5=310. 答案：a10 7.(2015·马鞍山高二检测)在△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，则△ABC的形状一定是　　　　. 【解题指南】移项后通过三角恒等变换判断三角形形状. 【解析】因为cosAcosB>sinAsinB， 所以cosAcosB-sinAsinB =cos(A+B)>0. 因为0<A+B<π，所以0<A+B<. 又C=π-(A+B)，所以C∈ 即△ABC为钝角三角形. 答案：钝角三角形 【拓展延伸】证明三角等式或不等式的主要依据 (1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式. (2)和、差、倍角的三角函数公式. (3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理. (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式. 8.若拋物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短，则点P的坐标为　　　　. 【解析】设P在y=4x+m上，将y=4x+m代入y=4x2，得4x2-4x-m=0.取Δ=0，得m=-1. 所以4x2-4x+1=0⇒x=，y=1. 答案： 三、解答题(每小题10分，共20分) 9.设a，b，c>0，求证：++≥(a+b+c). 【证明】因为a2+b2≥2ab，a，b>0， 所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2， 所以a2+b2≥， 所以≥(a+b). 同理：≥(b+c)， ≥(c+a)， 所以++≥(2a+2b+2c) =(a+b+c).(当且仅当a=b=c时取等号) 故++≥(a+b+c). 10.(2015·石家庄高二检测)已知数列{an}为等比数列，a2=6，a5=162. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设Sn是数列{an}的前n项和，证明：≤1. 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q，a5=a1q4， 依题意，得方程组， 解得a1=2，q=3， 所以an=2·3n-1 (2)因为Sn==3n-1， 所以= ≤=1， 即≤1. 【补偿训练】已知△ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：B<90°. 【证明】由题意知=+， 所以b(a+c)=2ac. 因为cosB=≥=1-=1-=1- 又△ABC三边长a，b，c满足a+c>b， 所以<1， 所以1->0. 所以cosB>0， 即B<90°. 【拓展延伸】综合法处理问题的三个步骤 (20分钟　40分) 一、选择题(每小题5分，共10分) 1.(2015·南昌高二检测)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项S8=32，则S10等于(　　) A.18 B.24 C.60 D.90 【解题指南】由等比中项的定义可得=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，设出公差d，列方程解出a1和d进而求出S10. 【解析】选C.等差数列{an}的公差为d，因为a4是a3与a7的等比中项， 所以=a3·a7， 即(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d) 整理得2a1+3d=0，① 又S8=8a1+d=32. 整理得2a1+7d=8，② 由①②知d=2，a1=-3. 所以S10=10a1+d=60. 【补偿训练】(2014·温州高二检测)已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m-n|=　　　　. 【解析】方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0⇒x2-mx+2=0① 或x2-nx+2=0②. 设方程①两根为x1，x4.方程②两根为x2，x3.则x1·x4=2，x1+x4=m，x2·x3=2，x2+x3=n. 因为方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为的等比数列. 所以x1，x2，x3，x4分别为此数列的前四项且x1=，x4==4，公比为2，所以x2=1，x3=2，所以m=x1+x4=+4=，n=x2+x3=1+2=3，故|m-n|==. 答案： 2.若a，b，c∈R，且ab+bc+ca=1，则下列不等式成立的是(　　) A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3 C.++≥2 D.abc(a+b+c)≤ 【解析】选B.因为a，b，c∈R， 所以a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac， 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac=1， 所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a2+b2+c2+2≥3. 二、填空题(每小题5分，共10分) 3.(2015·福州高二检测)下面的四个不等式：①a2+b2+3≥ab+(a+b)；②a(1-a)≤；③+≥2； ④(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd) 2，其中恒成立的是　　　　. 【解析】因为a2+b2≥2ab，a2+3≥2a，b2+3≥2b. 相加得2(a2+b2+3)≥2ab+2(a+b)，所以a2+b2+3≥ab+(a+b)，所以①正确. 由于a(1-a)-=-a2+a-=-≤0，所以②正确. (a2+b2)·(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2，所以④正确. 而+≥2，因为a，b的符号不确定， 所以不一定成立. 答案：①②④ 4.(2015·长春高二检测)点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的距离的最小值是　　　　. 【解题指南】在曲线上求一点，使得在此点处的切线和直线y=x-2平行，求出两条平行线间的距离即可. 【解析】点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小.直线y=x-2的斜率为1.令y=x2-lnx的导数 y′=2x-=1，得x=1或x=-(舍)，所以切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线y=x-2的距离等于. 答案： 三、解答题(每小题10分，共20分) 5.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AD=2，E是BC的中点. (1)求证：直线BB1∥平面D1DE. (2)求证：平面A1AE⊥平面D1DE. 【证明】(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1， 又因为BB1⊄平面D1DE，DD1⊂平面D1DE， 所以直线BB1∥平面D1DE. (2)在长方形ABCD中， 因为AB=AA1=1，AD=2， 所以AE=DE=， 所以AE2+DE2=4=AD2， 故AE⊥DE， 因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中有DD1⊥平面 ABCD，AE⊂平面ABCD， 所以DD1⊥AE. 又因为DD1∩DE=D， 所以直线AE⊥平面D1DE， 而AE⊂平面A1AE， 所以平面A1AE⊥平面D1DE. 【延伸探究】本题中如何求三棱锥A-A1DE的体积？ 【解析】==AA1×S△ADE=×1××1×2=. 【拓展延伸】综合法的广泛应用 综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”.综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等. 6.(2015·绵阳高二检测)已知数列{an}中，a1=1，二次函数f(x)=an·x2+ (2-n-an+1)·x的对称轴为x=. (1)试证明{2nan}是等差数列，并求{an}的通项公式. (2)设{an}的前n项和为Sn，试求使得Sn<3成立的n的值，并说明理由. 【解题指南】(1)根据对称轴，得到2n+1an+1-2nan=2，继而得到{2nan}是以2为首项，以2公差的等差数列.根据等差数列的通项公式求出an. (2)利用错位相加法求出数列的前n项和Sn，并利用函数的思想，得到Sn<3成立的n的值. 【解析】(1)因为二次函数f(x)=an·x2+(2-n-an+1)·x的对称轴为x=. 所以=， 所以2n+1an+1-2nan=2， 因为a1=1，所以2a1=2， 所以{2nan}是以2为首项，以2为公差的等差数列， 所以2nan=2+2(n-1)=2n， 所以an==n·. (2)因为Sn=a1+a2+…+an=1×+2×+3×+n·， 所以Sn=1×+2×+3×+…+n·， 两式相减得， Sn=++++…+-n·=-n·=2-2·-n·， 所以Sn=4-， 因为Sn<3，所以4-<3， 所以n+2>2n-1， 分别画出函数y=x+2(x>0)，与y=2x-1(x>0)的图象，如图所示，由图象可知，当n=1，2，3时，Sn<3成立. 关闭Word文档返回原板块