高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.5.3.doc

1.5.3　定积分的概念 明目标、知重点 1．了解定积分的概念，会用定义求定积分． 2．理解定积分的几何意义． 3．掌握定积分的基本性质． 定积分 概念 一般地，如果函数f(x)在区间a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<x2<…<xi－1<xi<…<xn＝b将区间a，b]等分成n个小区间，在每个小区间xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝ f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b]上的定积分，记作ʃf(x)dx，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． 几何意义 如果在区间a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ʃf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积. 基本性质 ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx(k为常数)； ʃf1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx； ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a<c<b). 探究点一　定积分的概念 思考1　分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点． 答　两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限． 思考2　怎样正确认识定积分ʃf(x)dx? 答　(1)定积分ʃf(x)dx是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃf(x)dx与积分区间a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同． (2)定积分就是和的极限(ξi)·Δx，而ʃf(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”． (3)函数f(x)在区间a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)． 例1　利用定积分的定义，计算ʃx3dx的值． 解　令f(x)＝x3. (1)分割 在区间0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间0,1]等分成n个小区间，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝. (2)近似代替、求和 取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则 ʃx3dx≈Sn＝f()·Δx ＝ ()3· ＝i3＝·n2(n＋1)2＝(1＋)2. (3)取极限 ʃx3dx＝Sn＝ (1＋)2＝. 反思与感悟　(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤． (2)从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积． 跟踪训练1　用定义计算ʃ(1＋x)dx. 解　(1)分割：将区间1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为 Δx＝. (2)近似代替、求和：在上取点ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，从而得f(ξi)Δx＝(2＋)·＝ ＝·n＋0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝2＋·＝2＋. (3)取极限：S＝ ＝2＋＝. 因此ʃ(1＋x)dx＝. 探究点二　定积分的几何意义 思考1　从几何上看，如果在区间a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃf(x)dx表示什么？ 答　当函数f(x)≥0时，定积分ʃf(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a<b)，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积． 思考2 　当f(x)在区间a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，ʃf(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？ 答　如果在区间a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)． 由于>0，f(ξi)≤0，故 f(ξi)≤0.从而定积分ʃf(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃf(x)dx＝－S. 当f(x)在区间a，b]上有正有负时，定积分ʃf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即ʃf(x)dx＝－S1＋S2－S3. 例2　利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃdx；(2)ʃ(3x＋1)dx. 解　(1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆， 其面积为S＝·π·32. 由定积分的几何意义知ʃdx＝π. (2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示： ʃ(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积， ∴ʃ(3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16. 反思与感悟　利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定． 跟踪训练2　根据定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)ʃxdx；(2)ʃcos xdx；(3)ʃ|x|dx. 解　(1)如图(1)，ʃxdx＝－A1＋A1＝0. (2)如图(2)，ʃcos xdx＝A1－A2＋A3＝0. (3)如图(3)，∵A1＝A2，∴ʃ|x|dx＝2A1＝2×＝1. (A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积) 　 探究点三　定积分的性质 思考1　定积分的性质可作哪些推广？ 答　定积分的性质的推广 ①ʃf1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx±…±ʃfn(x)dx； ②ʃf(x)dx＝ʃc1af(x)dx＋ʃc2c1f(x)dx＋…＋ʃbcnf(x)dx(其中n∈N*)． 思考2　如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？ 答　奇、偶函数在区间－a，a]上的定积分 ①若奇函数y＝f(x)的图象在－a，a]上连续不断，则ʃf(x)dx＝0. ②若偶函数y＝g(x)的图象在－a，a]上连续不断，则ʃg(x)dx＝2ʃg(x)dx. 例3　计算ʃ(－x3)dx的值． 解　如图， 　　 由定积分的几何意义得ʃdx＝＝， ʃx3dx＝0，由定积分性质得 ʃ(－x3)dx＝ʃdx－ʃx3dx＝. 反思与感悟　根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算． 跟踪训练3　已知ʃx3dx＝，ʃx3dx＝，ʃx2dx＝，ʃx2dx＝，求： (1)ʃ3x3dx；(2)ʃ6x2dx；(3)ʃ(3x2－2x3)dx. 解　(1)ʃ3x3dx＝3ʃx3dx＝3(ʃx3dx＋ʃx3dx) ＝3×(＋)＝12； (2)ʃ6x2dx＝6ʃx2dx＝6(ʃx2dx＋ʃx2dx)＝6×(＋)＝126； (3)ʃ(3x2－2x3)dx＝ʃ3x2dx－ʃ2x3dx ＝3ʃx2dx－2ʃx3dx＝3×－2×＝7－＝－. 1．下列结论中成立的个数是(　　) ①ʃx3dx＝·； ②ʃx3dx＝·； ③ʃx3dx＝·. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　②③成立． 2．定积分ʃf(x)dx的大小(　　) A．与f(x)和积分区间a，b]有关，与ξi的取法无关 B．与f(x)有关，与区间a，b]以及ξi的取法无关 C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间a，b]无关 D．与f(x)、积分区间a，b]和ξi的取法都有关 答案　A 3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①ʃxdx________ʃx2dx； ②ʃdx________ʃ2dx. 答案　①>　②< 4．若ʃx2dx＝9，则常数T的值为________． 答案　3 解析　令f(x)＝x2. (1)分割 将区间0，T]n等分，则Δx＝. (2)近似代替、求和 取ξi＝(i＝1,2，…，n)， Sn＝()2·＝2＝(12＋22＋…＋n2) ＝·＝(1＋)(2＋)． (3)取极限 S＝ ×2＝＝9, ∴T3＝27，∴T＝3. 呈重点、现规律] 1．定积分ʃf(x)dx是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分． 3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算. 一、基础过关 1．下列命题不正确的是(　　) A．若f(x)是连续的奇函数，则ʃf(x)dx＝0 B．若f(x)是连续的偶函数，则ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx C．若f(x)在a，b]上连续且恒正，则ʃf(x)dx>0 D．若f(x) 在a，b]上连续且ʃf(x)dx>0，则f(x)在a，b]上恒正 答案　D 解析　对于A，f(－x)＝－f(x)，ʃf(x)dx ＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＝－ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＝0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)>0时，ʃf(x)dx>0即C正确；但ʃf(x)dx>0，不一定有f(x)恒正，故选D. 2．已知定积分ʃf(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则ʃf(x)dx等于(　　)． A．0 B．16 C．12 D．8 答案　B 解析　偶函数图象关于y轴对称， 故ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx＝16，故选B. 3．已知ʃxdx＝2，则ʃxdx等于(　　) A．0 B．2 C．－1 D．－2 答案　D 解析　∵f(x)＝x在－t，t]上是奇函数， ∴ʃxdx＝0.而ʃxdx＝ʃxdx＋ʃxdx， 又ʃxdx＝2， ∴ʃxdx＝－2.故选D. 4．由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是(　　) A．ʃ(x2－4)dx B. C．ʃ|x2－4|dx D．ʃ(x2－4)dx＋ʃ(x2－4)dx 答案　C 5．设a＝ʃxdx，b＝ʃx2dx，c＝ʃx3dx，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>a>b B．a>b>c C．a＝b>c D．a>c>b 答案　B 解析　根据定积分的几何意义，易知ʃx3dx<ʃx2dx<ʃxdx，a>b>c，故选B. 6．若ʃ|56x|dx≤2 016，则正数a的最大值为(　　) A．6 B．56 C．36 D．2 016 答案　A 解析　由ʃ|56x|dx＝56ʃ|x|dx≤2 016， 得ʃ|x|dx≤36，∴ʃ|x|dx＝2ʃxdx＝a2≤36， 即0<a≤6.故正数a的最大值为6. 7.ln 等于(　　) A．ʃln2xdx B．2ʃln xdx C．2ʃln(1＋x)dx D．ʃln2(1＋x)dx 答案　B 解析　ln ＝ ln ＝2 ＝2ʃln xdx(这里f(x)＝ln x，区间1,2]或者2 ＝2ʃln(1＋x)dx，区间0,1])． 二、能力提升 8．由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________. 答案　－ʃsin xdx 解析　由定积分的意义知，由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0围成图形的面积为S＝－ʃsin xdx. 9．计算定积分ʃdx＝________. 答案　π 解析　由于ʃdx＝2ʃdx表示单位圆的面积π，所以ʃdx＝π. 10．设f(x)是连续函数，若ʃf(x)dx＝1，ʃf(x)dx＝－1，则ʃf(x)dx＝________. 答案　－2 解析　因为ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx， 所以ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx－ʃf(x)dx＝－2. 11．利用定积分的定义计算ʃ(－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么． 解　令f(x)＝－x2＋2x. (1)分割 在区间1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间1,2]等分为n个小区间1＋，1＋](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝. (2)近似代替、求和 取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，则 Sn＝f(1＋)·Δx＝－(1＋)2＋2(1＋)]· ＝－(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n] ＝－－]＋· ＝－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋. (3)取极限 ʃ(－x2＋2x)dx＝Sn＝－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋]＝， ʃ(－x2＋2x)dx＝的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积． 12．用定积分的意义求下列各式的值： (1)ʃ(2x＋1)dx；(2)dx. 解　(1)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线， ʃ(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3与x轴围成的直角梯形OABC的面积，如图(1)所示，其面积为S＝(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知 ʃ(2x＋1)dx＝12. (2)由y＝可知，x2＋y2＝1(y≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和． S弓形＝×π×12－×1×1×sin π＝－， S矩形＝|AB|·|BC| ＝2××＝， ∴dx＝－＋＝＋. 三、探究与拓展 13．已知函数f(x)＝，求f(x)在区间－2,2π]上的积分． 解　由定积分的几何意义知 ʃx3dx＝0， ʃ2xdx＝ ＝π2－4， ʃcos xdx＝0， 由定积分的性质得 ʃf(x)dx＝ʃx3dx＋ʃ2xdx＋ʃcos xdx ＝π2－4.