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高中数学人教A版选修4-1课时跟踪检测十
与圆有关的比例线段
Word版含解析
高中
学人
选修
课时
跟踪
检测
有关
比例
线段
Word
解析
课时跟踪检测(十) 与圆有关的比例线段
一、选择题
1.在半径为12 cm的圆中,垂直平分半径的弦的长为( )
A.3 cm B.27 cm C.12 cm D.6 cm
解析:选C
法一:如图所示,OA=12,CD为OA的垂直平分线,连接OD.
在Rt△POD中,
PD===6,
∴CD=2PD=12(cm).
法二:如图,延长AO交⊙O于M,
由相交弦定理得PA·PM=PC·PD.
又∵CD为线段OA的垂直平分线,
∴PD2=PA·PM.
又∵PA=6,PM=6+12=18,
∴PD2=6×18.
∴PD=6.
∴CD=2PD=12(cm).
2.如图,CA,CD分别切圆O1于A,D两点,CB,CE分别切圆O2于B,E两点.若∠1=60°,∠2=65°,判断AB,CD,CE的长度,下列关系正确的是( )
A.AB>CE>CD B.AB=CE>CD
C.AB>CD>CE D.AB=CD=CE
解析:选A 因为∠1=60°,∠2=65°,
所以∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-60°-65°=55°,
所以∠2>∠1>∠ABC,
所以AB>BC>AC.
因为CA,CD分别切圆O1于A,D两点,
CB,CE分别切圆O2于B,E两点,
所以AC=CD,BC=CE,
所以AB>CE>CD.
3.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则( )
A.CE·CB=AD·DB B.CE·CB=AD·AB
C.AD·AB=CD2 D.CE·EB=CD2
解析:选A 在直角三角形ABC中,根据直角三角形射影定理可得CD2=AD·DB,再根据切割线定理可得CD2=CE·CB,所以CE·CB=AD·DB.
4.如图,已知PT切⊙O于点T,TC是⊙O的直径,割线PBA交TC于点D,交⊙O于B,A(B在PD上),DA=3,DB=4,DC=2,则PB等于( )
A.20 B.10
C.5 D.8
解析:选A ∵DA=3,DB=4,DC=2,
∴由相交弦定理得DB·DA=DC·DT,
即DT===6.
∵TC为⊙O的直径,所以PT⊥DT.
设PB=x,
则在Rt△PDT中,
PT2=PD2-DT2=(4+x)2-36.
由切割线定理得PT2=PB·PA=x(x+7),
∴(4+x)2-36=x(x+7),
解得x=20,即PB=20.
二、填空题
5.AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,AM=4,BM=9,则弦CD的长为________.
解析:根据相交弦定理,AM·BM=2,
所以=6,CD=12.
答案:12
6.如图所示,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,则AB=________.
解析:因为直线PB是圆的切线,所以∠PBA=∠C.
又因为∠PBA=∠DBA,所以∠DBA=∠C.
又因为∠A=∠A,所以△ABD∽△ACB,
所以=,所以AB==.
答案:
7.如图,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,PD=,∠OAP=30°,则CP=________.
解析:∵点P为弦AB的中点,
∴OP⊥AB.
∵∠OAP=30°,OA=a,
∴PA=a,PB=a.
由相交弦定理,得PA·PB=PD·CP.
∴CP===a.
答案:a
三、解答题
8.如图,已知PA,PB,DE分别切⊙O于A,B,C三点,PO=13 cm,⊙O半径r=5 cm.
求△PDE的周长.
解:∵PA,PB,DE分别切⊙O于A,B,C三点,
∴DA=DC,EB=EC.
∴△PDE的周长为
PA+PB=2PA.
连接OA,则OA⊥PA.
∴PA===12(cm).
∴△PDE的周长为24 cm.
9.如图,BC是半圆的直径,O是圆心,P是BC延长线上一点,PA切半圆于点A,AD⊥BC于点D.
(1)若∠B=30°,AB与AP是否相等?请说明理由;
(2)求证:PD·PO=PC·PB;
(3)若BD∶DC=4∶1,且BC=10,求PC的长.
解:(1)相等.
连接AO,如图所示.
∵PA是半圆的切线,
∴∠OAP=90°.
∵OA=OB,
∴∠B=∠OAB.
∴∠AOD=2∠B=60°.
∴∠APO=30°.
∴∠B=∠APO.∴AB=AP.
(2)证明:在Rt△OAP中,
∵AD⊥OP,∴PA2=PD·PO.
∵PA是半圆的切线,
∴PA2=PC·PB.
∴PD·PO=PC·PB.
(3)∵BD∶DC=4∶1,且BC=10,
∴BD=8,CD=2.∴OD=3.
∵OA2=OD·OP,∴25=3×OP.
∴OP=.
∴PC=-5=.
10.如图,两个同心圆的圆心是O,大圆的半径为13,小圆的半径为5,AD是大圆的直径.大圆的弦AB,BE分别与小圆相切于点C,F.AD,BE相交于点G,连接BD.
(1)求BD的长;
(2)求∠ABE+2∠D的度数;
(3)求的值.
解:(1)连接OC,因为AB是小圆的切线,C是切点,
所以OC⊥AB,
所以C是AB的中点.
因为AD是大圆的直径,
所以O是AD的中点.
所以OC是△ABD的中位线.
所以BD=2OC=10.
(2)连接AE.
由(1)知C是AB的中点.
同理F是BE的中点.
即AB=2BC,BE=2BF,
由切线长定理得BC=BF.
所以BA=BE.
所以∠BAE=∠E.
因为∠E=∠D,
所以∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180°.
(3)连接BO,在Rt△OCB中,
因为OB=13,OC=5,
所以BC=12,AB=24.
由(2)知∠OBG=∠OBC=∠OAC.
因为∠BGO=∠AGB,
所以△BGO∽△AGB.
所以==.