高中数学人教A版选修2-2（课时训练）：3.2　复数代数形式的四则运算3.2.2 Word版含答案.docx

3.2.2　复数代数形式的乘除运算 [学习目标] 1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．理解共轭复数的概念． [知识链接] 　写出下列各小题的计算结果： (1)(a±b)2＝________； (2)(3a＋2b)(3a－2b)________； (3)(3a＋2b)(－a－3b)________． (4)(x－y)÷(＋)________． 答案　(1)a2±2ab＋b2　(2)9a2－4b2　(3)－3a2－11ab－6b2　(4)－ [预习导引] 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 3.共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi. 4．复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则＝＝＝＋i. 要点一　复数乘除法的运算 例1　计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解　(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i. 规律方法　(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． (2)像3＋4i和3－4i这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为a＋bi和a－bi，其数值特征为(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2. 跟踪演练1　计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(3＋4i)(3－4i)； (3)(1＋i)2. 解　(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝ －20＋15i； (2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. 例2　计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)； (2)6＋. 解　(1)(1＋2i)÷(3－4i)＝＝＝＝－＋i； (2)原式＝6＋ ＝i6＋＝－1＋i. 规律方法　复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)． 跟踪演练2　计算：(1)；(2). 解　(1)＝＝＝1－i； (2)＝＝＝－1－3i. 要点二　共轭复数及其应用 例3　已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和． 解　设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则z·＝a2＋b2， ∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i， 即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i， ∴，解得， ∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4. 规律方法　本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点． 跟踪演练3　已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数. 解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1. ① 因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数， 所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0. ② 由①②联立，解得或 所以＝－i，或＝－＋i. 1．复数－i＋等于(　　) A．－2i B．i C．0 D．2i 答案　A 解析　－i＋＝－i－＝－2i，选A. 2．(2013·江西)已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝(　　) A．－2i B．2i C．－4i D．4i 答案　C 解析　本题考查复数的四则运算以及集合的基本运算．因为M∩N＝{4}，所以zi＝4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，zi＝－b＋ai，由zi＝4，利用复数相等，得a＝0，b＝－4.故选C. 3．若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)z等于(　　) A．1＋3i B．3＋3i C．3－i D．3 答案　A 解析　(1＋z)·z＝(2＋i)·(1＋i)＝(2×1－1)＋(2＋1)i＝1＋3i. 4．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于(　　) A. B． C．－ D．－ 答案　A 解析　∵z2＝t＋i，∴2＝t－i. z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i， 又∵z1·2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝. 5．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　因为z＝＝＝，故复数z对应的点在第四象限，选D. 1．复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律． (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想． 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化. 一、基础达标 1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 答案　A 解析　z＝＝－i. 2．i为虚数单位，＋＋＋等于(　　) A．0 B．2i C．－2i D．4i 答案　A 解析　＝－i，＝i，＝－i，＝i，∴＋＋＋＝0. 3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1 答案　D 解析　∵(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，∴. 4．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋i，对应点在第二象限． 5．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________． 答案　1 解析　由i(z＋1)＝－3＋2i得到z＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i. 6．复数的虚部是________． 答案　－ 解析　原式＝＝＝－i，∴虚部为－. 7．计算：(1)＋2 010； (2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)． 解　(1)＋2 010＝＋1 005 ＝i(1＋i)＋1 005＝－1＋i＋(－i)1 005 ＝－1＋i－i＝－1. (2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i＋25－25i＝47－39i. 二、能力提升 8．(2013·新课标)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i 答案　A 解析　因为复数z满足z(1－i)＝2i，所以z＝＝＝－1＋i. 9．(2013·山东)若复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　) A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i 答案　D 解析　由(z－3)(2－i)＝5，得z＝＋3＝＋3＝＋3＝2＋i＋3＝5＋i.所以＝5－i，选D. 10．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于________． 答案　－2i 解析　设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i. 11．(2013·山东聊城期中)已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i(a，b∈R)，求a＋b的值． 解　由z＝， 得z＝＝＝1－i， 又z2＋az＋b＝1＋i，∴(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i， ∴(a＋b)＋(－2－a)i＝1＋i，∴a＋b＝1. 12．已知复数z的共轭复数为，且z·－3iz＝，求z. 解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi. 又z·－3iz＝， ∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝， ∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i， ∴∴或. ∴z＝－1，或z＝－1－3i. 三、探究与创新 13．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)． (1)求b，c的值； (2)试说明1－i也是方程的根吗？ 解　(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴，得. ∴b、c的值为b＝－2，c＝2. (2)方程为x2－2x＋2＝0. 把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．