高中数学（人教版必修5）配套练习：2.4 等比数列 第2课时.doc

第二章　2.4　第2课时 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝(　　) A．27　　　 　　　 B．27或－27 C．81 D．81或－81 [答案]　B [解析]　∵q2＝＝9，∴q＝±3， 因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－27.故选B． 2．如果数列{an}是等比数列，那么(　　) A．数列{a}是等比数列 B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lgan}是等比数列 D．数列{nan}是等比数列 [答案]　A [解析]　设bn＝a，则＝＝()2＝q2， ∴{bn}成等比数列；＝2an＋1－an≠常数； 当an<0时lgan无意义；设cn＝nan， 则＝＝≠常数． 3．在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5.则等于(　　) A．－或－　 B． C． D．或 [答案]　D [解析]　a2a10＝a5a7＝6. 由，得或. ∴＝＝或.故选D． 4．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 [答案]　D [解析]　消去a得：4b2－5bc＋c2＝0， ∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，代入a＋3b＋c＝10中得b＝2，∴a＝－4. 5．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于(　　) A．210 B．220 C．216 D．215 [答案]　B [解析]　设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29， C＝a3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列， 公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210， ∴C＝B·210＝220. 6．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　) A．13项 B．12项 C．11项 D．10项 [答案]　B [解析]　设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1. 所以前三项之积aq3＝2，后三项之积aq3n－6＝4. 两式相乘得，aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2. 又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝aq＝64， 即(aqn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12. 二、填空题 7．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________． [答案]　 [解析]　解法一：∵a1＋a2＝1＋4＝5， b＝1×4＝4，且b2与1,4同号， ∴b2＝2. ∴＝. 解法二：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， ∵1＋3d＝4，∴d＝1，∴a1＝2，a2＝3. ∵q4＝4.∴q2＝2.∴b2＝q2＝2. ∴＝＝. 8．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________. [答案]　16 [解析]　∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a ＝4a7－a＝0， ∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4. ∴b6b8＝b＝16. 三、解答题 9．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数． [解析]　由题意设此四个数为，b，bq，a， 则有，解得或. 所以这四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8. 10．已知数列{an}为等比数列， (1)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q； (2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求项数n. [解析]　(1)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，故q＝±. (2)由a3＋a6＝(a2＋a5)·q，得9＝18q，故q＝. 又∵a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，解得a1＝32.再由an＝a1qn－1，得1＝32×()n－1，解得n＝6. 一、选择题 1．设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是(　　) A．1　 B． C． D． [答案]　A [解析]　a4＝a3q＝a3·＝×＝＝1. 2．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c(　　) A．成等差数列不成等比数列 B．成等比数列不成等差数列 C．成等差数列又成等比数列 D．既不成等差数列又不成等比数列 [答案]　A [解析]　解法一：a＝log23，b＝log26＝log2 3＋1， c＝log2 12＝log2 3＋2. ∴b－a＝c－B． 解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，∴选A． 3．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于(　　) A．32 B．34 C．66 D．64 [答案]　C [解析]　依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C． 4．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则的值是(　　) A．4　　 B．2　　 C．　　 D． [答案]　D [解析]　由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x3、4、x4，公比为2、x3＝2、x4＝8、n＝16、＝；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根为9，则n＝9，设x2－5x＋m＝0之两根为x1、x2则x1＋x2＝5，无论什么顺序均不合题意． 二、填空题 5．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________． [答案]　3或27 [解析]　设此三数为3、a、b，则， 解得或. ∴这个未知数为3或27. 6．a，b，c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则三数为__________． [答案]　4,12,36 [解析]　∵a，b，c成等比数列，公比q＝3，∴b＝3a，c＝9a，又a，b＋8，c成等差数列，∴2b＋16＝a＋c， 即6a＋16＝a＋9a，∴a＝4，∴三数为4,12,36. 三、解答题 7．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20. [解析]　设数列{an}的公差为d，则 a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d， a10＝a4＋6d＝10＋6D． 由a3，a6，a10成等比数列得，a3a10＝a， 即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0， 解得d＝0，或d＝1. 当d＝0时，S20＝20a4＝200； 当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7， 因此，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330. 8．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数． (1)求a1及an； (2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值． [解析]　(1)由Sn＝kn2＋n， 得a1＝S1＝k＋1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1. 经验证，n＝1时，上式也成立， ∴an＝2kn－k＋1. (2)∵am，a2m，a4m成等比数列， ∴a＝am·a4m， 即(4mk－k＋1)2 ＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)， 整理得mk(k－1)＝0. ∵对任意的m∈N*成立， ∴k＝0或k＝1.