高中数学（人教版必修5）配套练习：1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时.doc

第一章　1.1　第2课时 一、选择题 1．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° [答案]　C [解析]　cosB＝＝＝， ∴B＝60°. 2．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于(　　) A． B． C．3 D．4 [答案]　A [解析]　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×＝3， ∴c＝. 3．在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不存在 [答案]　B [解析]　∵c2<a2＋b2，∴∠C为锐角． ∵a<b<c，∴∠C为最大角，∴△ABC为锐角三角形． 4．(2013·天津理，6)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　) A． B． C．　 D． [答案]　C [解析]　本题考查了余弦定理、正弦定理． 由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos ＝2＋9－2××3×＝5.∴AC＝. 由正弦定理，得＝， ∴sinA＝＝＝. 5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为(　　) A． B． C．或　 D．或 [答案]　D [解析]　依题意得，·tanB＝， ∴sinB＝，∴B＝或B＝，选D． 6．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　) A． B． C．　 D． [答案]　D [解析]　设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)， 由余弦定理得 cosA＝＝， 故选D． 二、填空题 7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角) [答案]　锐角 [解析]　由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cosα＝＝>0，因此0°<α<90°.故填锐角． 8．在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA＝________. [答案]　 [解析]　∵c2＝a2＋b2－2abcosC ＝52＋32－2×5×3×cos120°＝49， ∴c＝7. 故由＝，得sinA＝＝. 三、解答题 9．在△ABC中，已知sinC＝，a＝2，b＝2，求边C． [解析]　∵sinC＝，且0<C<π，∴C为或. 当C＝时，cosC＝， 此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2. 当C＝时，cosC＝－， 此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2. 10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC． (1)求角A的大小； (2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值． [解析]　(1)根据正弦定理 2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC可化为 2cosAsinB＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB， ∵sinB≠0，∴cosA＝， ∵0°<A<180°，∴A＝60°. (2)由余弦定理，得 7＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 把b＋c＝4代入得bc＝3. 一、选择题 1．在△ABC中，若AB＝－1，BC＝＋1，AC＝，则B的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° [答案]　C [解析]　∵cosB＝ ＝＝，∴B＝60°. 2．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于(　　) A．－ B．－ C．　 D． [答案]　D [解析]　∵·＝||·||·cos<，>，由向量模的定义和余弦定理可以得出||＝3，||＝2，cos<，>＝＝. 故·＝3×2×＝. 3．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为(　　) A． B． C． D．3 [答案]　B [解析]　如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，AC＝4.∵cosA＝＝， ∴sinA＝. 故BD＝AB·sinA＝3×＝. 4．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为(　　) A． B． C．　 D． [答案]　B [解析]　∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q， ∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0， 即a2＋b2－c2＝ab. 由余弦定理，得cosC＝＝＝， ∵0<C<π，∴C＝. 二、填空题 5．在△ABC中，已知sinAsinBsinC＝456，则cosAcosBcosC＝________. [答案]　1292 [解析]　由正弦定理，得＝＝，得abc＝sinAsinBsinC＝456， 令a＝4k，b＝5k，c＝6k(k>0)， 由余弦定理得 cosA＝＝， 同理可得cosB＝，cosC＝， 故cosAcosBcosC＝＝1292. 6．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又最大角的正弦等于，则三边长为__________． [答案]　3,5,7 [解析]　∵a－b＝2，b－c＝2，∴a>b>c， ∴最大角为A．sinA＝，∴cosA＝±， 设c＝x，则b＝x＋2，a＝x＋4， ∴＝±， ∵x>0，∴x＝3，故三边长为3,5,7. 三、解答题 7．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝2，c＝3，cosB＝. (1)求边b的值； (2)求sinC的值． [解析]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB ＝4＋9－2×2×3×＝10， ∴b＝. (2)∵cosB＝，∴sinB＝. 由正弦定理，得sinC＝＝＝. 8．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝. (1)求a、c的值； (2)求sin(A－B)的值． [解析]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)， 又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝，∴ac＝9. 由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3. (2)在△ABC中，∵cosB＝， ∴sinB＝＝. 由正弦定理，得sinA＝＝， ∵a＝c，∴A为锐角，∴cosA＝＝. ∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.