高中数学人教A版选修4-1课时跟踪检测（六） 圆周角定理 Word版含解析.doc

课时跟踪检测(六) 圆周角定理 一、选择题 1．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(　　) A．40°　　B．25° C．50° D．60° 解析：选A　连接OB.因为∠A＝50°，所以BC弦所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝90°－50°＝40°.所以∠OCD＝40°. 2．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠BCD＝25°，则下列结论错误的是(　　) A．AE＝BE B．OE＝DE C．∠AOD＝50° D．D是的中点 解析：选B　因为CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD， 所以＝，AE＝BE. 因为∠BCD＝25°， 所以∠AOD＝2∠BCD＝50°， 故A、C、D项结论正确，选B. 3．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形外接圆的半径为(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：选B　由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2. 4．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD＝3，AB＝4，则tan ∠BPD等于(　　) A. B. C. D. 解析：选D　连接BD，则∠BDP＝90°. ∵△CPD∽△APB，∴＝＝. 在Rt△BPD中，cos ∠BPD＝＝， ∴tan ∠BPD＝. 二、填空题 5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝________. 解析：AB是⊙O的直径，所以弧ACB的度数为180 °，它所对的圆周角为90°，所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－∠ADC＝90°－68°＝22°. 答案：22° 6．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为______． 解析：如图，连接AB，AC， 由A，E为半圆周上的三等分点， 得∠FBD＝30°，∠ABD＝60°， ∠ACB＝30°. 由BC＝4， 得AB＝2，AD＝，BD＝1， 则DF＝，故AF＝. 答案： 7．如图所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于点D，若AD＝4，则AE＝________. 解析：连接CE，则∠AEC＝∠ABC. 又△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠AEC＝∠ACB， ∴△ADC∽△ACE， ∴＝， ∴AE＝＝9. 答案：9 三、解答题 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C. (1)求证：CB∥MD； (2)若BC＝4，sin M＝，求⊙O的直径． 解：(1)证明：因为∠C与∠M是同一弧所对的圆周角， 所以∠C＝∠M. 又∠1＝∠C，所以∠1＝∠M， 所以CB∥MD(内错角相等，两直线平行)． (2)由sin M＝知，sin C＝， 所以＝，BN＝×4＝. 由射影定理得：BC2＝BN·AB，则AB＝6. 所以⊙O的直径为6. 9.如图，已知△ABC内接于圆，D为的中点，连接AD交BC于点E. 求证：(1)＝； (2)AB·AC＝AE2＋EB·EC. 证明：(1)连接CD. ∵∠1＝∠3，∠4＝∠5， ∴△ABE∽△CDE.∴＝. (2)连接BD. ∵＝， ∴AE·DE＝BE·EC. ∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE ＝AE(AE＋DE)＝AE·AD.① 在△ABD与△AEC中，∵D为的中点， ∴∠1＝∠2. 又∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB， ∴△ABD∽△AEC.∴＝， 即AB·AC＝AD·AE② 由①②知：AB·AC＝AE2＋EB·EC. 10.如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD，DC. (1)求证：BD＝DC＝DI； (2)若⊙O的半径为10 cm，∠BAC＝120°，求△BCD的面积． 解：(1)证明：因为AI平分∠BAC， 所以∠BAD＝∠DAC， 所以＝，所以BD＝DC. 因为BI平分∠ABC，所以∠ABI＝∠CBI， 因为∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC， 所以∠BAD＝∠DBC. 又因为∠DBI＝∠DBC＋∠CBI， ∠DIB＝∠ABI＋∠BAD， 所以∠DBI＝∠DIB，所以△BDI为等腰三角形， 所以BD＝ID，所以BD＝DC＝DI. (2)当∠BAC＝120°时， △ABC为钝角三角形， 所以圆心O在△ABC外． 连接OB，OD，OC， 则∠DOC＝∠BOD＝2∠BAD ＝120°， 所以∠DBC＝∠DCB＝60°， 所以△BDC为正三角形． 所以OB是∠DBC的平分线． 延长CO交BD于点E，则OE⊥BD， 所以BE＝BD. 又因为OB＝10， 所以BC＝BD＝2OBcos 30°＝2×10×＝10， 所以CE＝BC·sin 60°＝10×＝15， 所以S△BCD＝BD·CE＝×10×15＝75. 所以△BCD的面积为75.