高中数学人教A版选修4-1学业分层测评9 弦切角的性质 Word版含解析.doc

学业分层测评(九) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．如图2­4­12所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝(　　) 图2­4­12 A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 【解析】　由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC. ∵sin∠ABC＝＝＝＝，故选D. 【答案】　D 2．如图2­4­13，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是(　　) 图2­4­13 A．4　　 B．5 C．6 D．7 【解析】　∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE， ∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC. 【答案】　B 3.如图2­4­14所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为(　　) 图2­4­14 A．2 B．3 C．2 D．4 【解析】　连接BC.∵AB是⊙O的直径， ∴AC⊥BC，由弦切角定理可知， ∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD， ∴＝， ∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12， ∴AC＝2，故选C. 【答案】　C 4．如图2­4­15，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于(　　) 【导学号：07370043】 图2­4­15 A．20° B．25° C．30° D．40° 【解析】　如图，连接OC，BC， ∵PC切⊙O于C点， ∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°. ∵OC＝OB， ∴∠B＝∠POC＝25°， ∴∠ACP＝∠B＝25°. 【答案】　B 5．如图2­4­16所示，已知AB，AC与⊙O相切于B，C，∠A＝50°，点P是⊙O上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是(　　) 图2­4­16 A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50° 【解析】　当点P在优弧上时， 由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°. ∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠BPC＝65°. 当P点在劣弧上时，∠BPC＝115°. 故选C. 【答案】　C 二、填空题 6.如图2­4­17所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________. 　图2­4­17 【解析】　∵PB切⊙O于点B，∴∠PBA＝∠ACB. 又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB， ∴△ABD∽△ACB. ∴＝，∴AB2＝AD·AC＝mn， ∴AB＝. 【答案】　 7．如图2­4­18，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上．AD是⊙O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________． 图2­4­18 【解析】　连接OA， 则∠COA＝2∠CBA＝60°， 且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2. 又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD， 所以OD＝2OA＝4. 【答案】　4 8.如图2­4­19，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________. 图2­4­19 【解析】　连接OC，∵PC切⊙O于点C， ∴OC⊥PC， ∵PB＝OB＝2，OC＝2， ∴PC＝2，∵OC·PC＝OP·CD， ∴CD＝＝. 【答案】　 三、解答题 9．如图2­4­20所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT，AT于C，D. 图2­4­20 求证：△CTD为等腰三角形． 【证明】　∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT. 又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A. 又∵∠TDC＝∠A＋∠APD， ∠TCD＝∠BTP＋∠DPT， ∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形． 10．如图2­4­21，AB是⊙O的弦，M是上任一点，过点M的切线与分别以A，B为垂足的直线AD，BC交于D，C两点，过M点作NM⊥CD交AB于点N，求证：MN2＝AD·BC. 图2­4­21 【证明】　连接AM，MB， 因为DA⊥AB，MN⊥CD， 所以∠MDA＋∠MNA＝180°. 又因为∠MNA＋∠MNB＝180°， 所以∠MDA＝∠MNB， 又因为CD为⊙O的切线，所以∠1＝∠2， 所以△ADM∽△MNB， 所以＝，同理＝， 所以＝，即有MN2＝AD·BC. [能力提升] 1．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB＝30°，AP＝，则CP＝(　　) 【导学号：07370044】 A.　 B．2 C．2－1 D．2＋1 【解析】　如图，连接OP，则OP⊥PA， 又∠APB＝30°， ∴∠POB＝60°， 在Rt△OPA中，由AP＝， 易知，PB＝OP＝1， 在Rt△PCB中， 由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝. 【答案】　A 2．如图2­4­22，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为(　　) 图2­4­22 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　连接BC. ∵AC＝PC，∴∠A＝∠P. ∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P， ∴BC＝BP＝1. 由△BCP∽△CAP，得 PC2＝PB·PA， 即AC2＝PB·PA. 而AC2＝AB2－BC2， 设⊙O半径为r， 则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1. 【答案】　A 3．如图2­4­23，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝__________. 图2­4­23 【解析】　由PA为⊙O的切线，BA为弦， 得∠PAB＝∠BCA. 又∠BAC＝∠APB， 于是△APB∽△CAB， 所以＝. 而PB＝7，BC＝5， 故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝. 【答案】　 4．如图2­4­24，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE. 图2­4­24 证明： (1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC. 【证明】　(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB. 由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝. 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝. 从而∠FEB＝∠EAB，故∠FEB＝∠CEB. (2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 类似可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF， 所以EF2＝AD·BC.