高中数学人教A版选修4-1学业分层测评8 圆的切线的性质及判定定理 Word版含解析.doc

学业分层测评(八) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是(　　) A．AB与⊙O相切于直线CD上的点C B．CD经过圆心O C．CD是直径 D．AB与⊙O相切于C，CD过圆心O 【解析】　圆的切线垂直于过切点的半径或直径． 【答案】　D 2．已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径是(　　) A.　　　　　　　 B. C．10 D．5 【解析】　如图，连接OC， ∠PAC＝30°， 由圆周角定理知， ∠POC＝2∠PAC＝60°， 由切线性质知∠OCP＝90°. ∴在Rt△OCP中，tan∠POC＝. ∴OC＝＝＝. 【答案】　A 3．如图2­3­13，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C＝36°，则∠ABD的度数是(　　) 图2­3­13 A．72°　　　　 B．63° C．54° D．36° 【解析】　连接O B. ∵CD为⊙O的切线，∴∠OBC＝90°. ∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°. 又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°， ∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°. 【答案】　B 4.如图2­3­14所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，点P是弧EG上的任意一点，则∠EPF＝(　　) 图2­3­14 A．120° B．90° C．60° D．30° 【解析】　如图所示，连接OE，OF. ∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°， ∴∠EOF＋∠ABC＝180°， ∴∠EOF＝120°，∴∠EPF＝∠EOF＝60°. 【答案】　C 5．如图2­3­15所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB＝(　　) 图2­3­15 A．2∶1 B．1∶1 C．1∶2 D．1∶1.5 【解析】　如图所示，连接OD，OC，则OD⊥AC. ∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°. ∵OB＝OD，OC＝OC， ∴△CDO≌△CBO，∴BC＝DC. ∵＝，∴AD＝DC， ∴BC＝AC. 又OB⊥BC，∴∠A＝30°， ∴OB＝OD＝AO，∴＝. 【答案】　A 二、填空题 6.如图2­3­16，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C.则⊙O的半径是________． 图2­3­16 【解析】　连接OE，设OE＝r， ∵OC＝OE＝r，BC＝12， 则BO＝12－r，AB＝＝13， 由△BEO∽△BCA，得＝， 即＝，解得r＝. 【答案】　 7．如图2­3­17，在半径分别为5 cm和3 cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为______cm. 图2­3­17 【解析】　连接OA，OC， ∵AB是小圆的切线， ∴OC⊥AB，∴AC＝A B. ∵在Rt△AOC中， AC＝＝4(cm)， ∴AB＝8 cm. 【答案】　8 8．如图2­3­18所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________. 图2­3­18 【解析】　连接OA.∵AP为⊙O的切线， ∴OA⊥AP. 又∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°. ∴在Rt△AOP中，OA＝1，PA＝OA·tan 60°＝. 【答案】　 三、解答题 9.如图2­3­19，已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线. 【导学号：07370040】 图2­3­19 【证明】　如图，连接OB，OC，OD，设OD交BC于E. 因为∠DCB是所对的圆周角， ∠BOD是所对的圆心角， ∠BCD＝45°， 所以∠BOD＝90°. 因为∠ADB是△BCD的一个外角， 所以∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°， 所以∠DOC＝2∠DBC＝30°， 从而∠BOC＝120°. 因为OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝30°. 在△OEC中， 因为∠EOC＝∠ECO＝30°， 所以OE＝EC. 在△BOE中，因为∠BOE＝90°，∠EBO＝30°，所以BE＝2OE＝2EC， 所以＝＝， 所以AB∥OD，所以∠ABO＝90°， 故AB是△BCD的外接圆的切线． 10．如图2­3­20，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE. 图2­3­20 (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径． 【解】　(1)证明：在△OCP与△CEP中， ∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE， ∴∠OCP＝∠CEP. ∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°， ∴∠OCP＝90°. 又∵C点在圆上，∴PC是⊙O的切线． (2)法一：设OE＝x，则EA＝2x，OC＝OA＝3x. ∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°， ∴△OCE∽△OPC， ∴＝， 即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1， ∴OA＝3x＝3，即圆的半径为3. 法二：由(1)知PC是⊙O的切线， ∴∠OCP＝90°. 又∵CD⊥OP，由射影定理知OC2＝OE·OP，以下同法一． [能力提升] 1．如图2­3­21，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin∠ACO等于(　　) 图2­3­21 A.　　　　 B. C. D. 【解析】　连接BD，则BD⊥AC. ∵AD＝DC，∴BA＝BC， ∴∠BCA＝45°. ∵BC是⊙O的切线，切点为B， ∴∠OBC＝90°. ∴sin∠BCO＝＝＝， cos ∠BCO＝＝＝. ∴sin∠ACO＝sin(45°－∠BCO) ＝sin45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO ＝×－×＝. 【答案】　A 2．如图2­3­22所示，已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R＝__________. 图2­3­22 【解析】　AB＝＝. 由AB2＝PB·BC， ∴BC＝3，Rt△ABC中， AC＝＝2， ∴R＝. 【答案】　 3．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l，圆交于点D，E，则∠DAC＝__________，DC＝__________. 【解析】　连接OC， ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC. 又∠DCA＋∠ACO＝90°， ∠ACO＋∠OCB＝90°， ∴∠DCA＝∠OCB. ∵OC＝3，BC＝3， ∴△OCB是正三角形， ∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°， ∴∠DAC＝30°. 在Rt△ACB中，AC＝＝3， DC＝ACsin 30°＝ . 【答案】　30°　 4．如图2­3­23，AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点D，AB，AC与圆分别相交于点E，F. 【导学号：07370041】 图2­3­23 (1)AE·AB与AF·AC有何关系？请给予证明； (2)在图中，如果把直线BC向上或向下平移，得到图2­3­24(1)或图(2)，在此条件下，(1)题的结论是否仍成立？为什么？ 图2­3­24 【解】　(1)AE·AB＝AF·AC. 证明：连接DE. ∵AD为⊙O的直径，∴∠DEA＝90°. 又∵BC与⊙O相切于点D， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠DEA. 又∵∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE， ∴＝，即AD2＝AB·AE. 同理AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC. (2)(1)中的结论仍成立． 因为BC在平移时始终与AD垂直，设垂足为D′， 则∠AD′B＝90°. ∵AD为圆的直径， ∴∠AED＝∠AD′B＝90°. 又∵∠DAE＝∠BAD′，∴△ABD′∽△ADE， ∴＝，∴AB·AE＝AD·AD′. 同理AF·AC＝AD·AD′，故AE·AB＝AF·AC.