高中数学人教A版选修2-3练习：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 Word版含解析.doc

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　) A．第15项　　　　　　　 B．第16项 C．第17项 D．第18项 【解析】　第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件． 【答案】　B 2．(2016·吉林一中期末)已知n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是(　　) A．5 B．20 C．10 D．40 【解析】　根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32， 则有2n＝32，可得n＝5， Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r， 令10－3r＝1，解得r＝3， 所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C. 【答案】　C 3．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　) 【导学号：97270026】 A．2n B. C．2n＋1 D. 【解析】　令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，① 令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，② ①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)， ∴a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D. 【答案】　D 4．(2016·信阳六高期中)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　) A. B. C. D. 【解析】　a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.故选A. 【答案】　A 5．在(x－)2 010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于(　　) A．23 015 B．－23 014 C．23 014 D．－23 008 【解析】　因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23 014. 【答案】　B 二、填空题 6．若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则＋＋…＋的值为________． 【解析】　令x＝0，得a0＝1.令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1. 【答案】　－1 7．若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是________． 【解析】　7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝C9n(－1)0＋C9n－1(－1)1＋…＋C90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7. 【答案】　7或0 8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1­3­5所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5. 【解析】　根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k， 使得连续三项C，C，C，有＝且＝. 化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62. 故第62行会出现满足条件的三个相邻的数． 【答案】　62 三、解答题 9．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14. (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13. 【解】　(1)令x＝1， 则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.① (2)令x＝－1， 则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128.② ①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256， 所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128. 10．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数． 【解】　由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，得n＝8.8的展开式共有9项，其中T5＝C4(2x)4＝x4，该项的二项式系数最大，系数为. [能力提升] 1．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 【解析】　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10， 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(＋1)10， 故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2 ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10) ＝(－1)10(＋1)10＝1. 【答案】　A 2．把通项公式为an＝2n－1(n∈N*)的数列{an}的各项排成如图1­3­6所示的三角形数阵．记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是(　　) 1 3　5 7　9　11 13　15　17　19 …… 图1­3­6 A．91 B．101 C．106 D．103 【解析】　设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn}，则b1＝1，bn－bn－1＝2(n－1)，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1 ＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1， ∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101. 【答案】　B 3．(2016·孝感高级中学期中)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________． 【解析】　令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5. 【答案】　5 4．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11. (1)求x2的系数取最小值时n的值； (2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次项的系数之和. 【导学号：97270027】 【解】　(1)由已知C＋2C＝11，所以m＋2n＝11， x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)·＝2＋. 因为m∈N*，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3. (2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3， 所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3， 设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， 令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33， 令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1， 两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60， 故展开式中x的奇次项的系数之和为30.