高中数学（人教A版）选修1-1教案：1.3 简单的逻辑联结词.doc

1.3 简单的逻辑联结词 1．3.1　且(and) 1．3.2　或(or) 1．3.3　非(not) ●三维目标 1.知识与技能 了解命题的概念，理解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义，掌握含有“或”，“且”，“非”的命题的构成． 2．过程与方法 (1)经历抽象的逻辑联结词的过程，培养学生观察，抽象，推理的思维能力． (2)通过发现式的引导，培养学生发现问题，解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 培养学生积极参与，合作交流的主体意识，并在这过程中，培养学生对数学的兴趣和爱好． ●重点、难点 重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或”、“且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容． 难点：(1)正确理解命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的规定和判定． (2)简洁、准确地表述命题“p∧q”“p∨q”“綈p”． 为了突出重点，突破难点，在教学上宜采取了以下的措施： ①从学生已有的知识出发，精心设置一组例子，逐步引导学生观察，探讨，联想，归纳出逻辑联结词的含义，从是体会逻辑的思想． ②通过简单命题与复合命题的对比，明确它们存在的区别和联系，加深对复合命题构成的理解，抓住其本质特点． (教师用书独具) ●教学建议 教法分析：依据现有学生的年龄特点和心理特征，结合他们的认识水平，在遵循启发式教学原则的基础上，在本节采用发现法为主，以谈话法，讲解法，练习法为辅的教学方法，意在通过老师的引导，调动学生学习知识的积极性，从而培养学生观察问题，发现问题和解决问题的能力．为此，依据新课程的改革要求，本节课采用师生互动的方式，既是以教师为主导，学生为主体的讨论式学习，真正实现新课标下的“以学生为主”的教学模式． 学法分析：现代教学理论认为，教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更重要的是让学生“会学知识”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键，因此在本节的教学中，教师指导学生运用观察，分析讨论，模拟归纳等手段来进行本节课的学习，实现对知识的理解和应用． ●教学流程 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ (对应学生用书第10页) 课标解读 1.会判断命题“p∧q”、“p∨q”、“綈p”的真假．(重点) 2.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．(难点) 3.掌握命题的否定与否命题的区别．(易混点) “且”、“或”、“非” 【问题导思】　 1．观察下面三个命题：①12能被3整除，②12能被4整除，③12能被3整除且能被4整除，它们之间有什么关系？ 【提示】　命题③是将命题①②用“且”联结得到的． 2．观察下面三个命题：①3＞2；②3＝2；③3≥2；它们之间有什么关系？ 【提示】　命题③是将命题①②用“或”联结得到的． 3．观察下列两个命题：①35能被5整除；②35不能被5整除；它们之间有什么关系？ 【提示】　命题②是对命题①的否定． 1．用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”． 2．用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”． 3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”． 含有逻辑联结词的命题的真假 【问题导思】　 1．你能判断1中问题(1)描述的三个命题的真假吗？p且q的真假与p、q的真假有关系吗？ 【提示】　①是真命题；②是真命题；③是真命题．若p、q都为真命题，则p∧q也为真命题． 2．你能判断1中问题(2)描述的三个命题的真假吗？p或q的真假与p、q的真假有关系吗？ 【提示】　①真命题；②假命题；③真命题．若p、q一真一假，则p∨q为真命题． 3．你能判断1中问题(3)所描述的两个命题的真假吗？非p的真假与p的真假有关系吗？ 【提示】　①真命题；②假命题． 若p为真命题，则綈p为假命题． 含有逻辑联结词的命题真假的判断方法： (1)“p∧q”形式命题：当命题p、q都是真命题时，p∧q是真命题；当p、q中有一个命题是假命题，则p∧q是假命题． (2)“p∨q”形式命题：当p、q至少有一个为真时，p∨q为真命题；当p、q均是假命题时，p∨q为假． (3)“綈p”形式命题：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题. (对应学生用书第10页) 用逻辑联结词构造新命题 　分别写出由下列命题构成的“p∧q”、“p∨q”、“綈p”的形式． (1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数． (2)p：是无理数，q：是实数 (3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 【思路探究】　→→ 【自主解答】　(1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数； p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数； 綈p：函数y＝3x2不是偶函数． (2)p∧q：是无理数且是实数； p∨q：是无理数或实数； 綈p：不是无理数． (3)“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角； “p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角； “綈p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和． 用“或”、“且”、“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词．如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”． 指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题： (1)菱形的对角线互相垂直平分； (2)方程2x2＋1＝0没有实数根； (3)12能被3或4整除． 【解】　(1)是“p且q”形式．其中p为：菱形的对角线互相垂直；q: 菱形的对角线互相平分． (2)是“綈p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根． (3)是“p或q”形式． 其中p：12能被3整除；q：12能被4整除． 含有逻辑联结词的命题真假的判断 　分别指出下列各组命题构成的“p∧q”、“p∨q”“綈p”形式的命题的真假． (1)p：6＜6，q：6＝6； (2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分； (3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2＜0无解； (4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数． 【思路探究】　(1)你能分别判断p、q的真假吗？ (2)判断出p、q的真假后如何判断“p∨q”，“p∧q”与“綈p”的真假？ 【自主解答】　(1)∵p为假命题，q为真命题， ∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题． (2)∵p为假命题，q为假命题， ∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，綈p为真命题． (3)∵p为真命题，q为真命题， ∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题． (4)∵p为真命题，q为假命题， ∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题． 1．判断含逻辑联结词的命题的真假时，首先确定该命题的构成，再确定其中简单命题的真假，最后由真值表进行判断． 2．真值表 p q 綈p p∨p p∧q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 也可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假． 判断下列命题的真假： (1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； (2)x＝±1是方程x2＋3x＋2＝0的根； (3)集合A不是A∪B的子集． 【解】　(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题． (2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题． (3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：A⊆(A∪B)，因为p真，则“綈p”假，所以该命题是假命题. 由含逻辑联结词的命题的真假 　　 求参数的取值范围 　已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式x2－ax＋1＞0对x∈R恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围． 【思路探究】　(1)若函数y＝ax在R上递增，则a的取值范围是什么？(2)不等式x2－ax＋1＞0对x∈R恒成立，则a的取值范围是什么？(3)由p∨q真，p∧q假可推得p、q的真假是怎样的？ 【自主解答】　∵y＝ax在R上为增函数 ∴命题p：a＞1 ∵不等式x2－ax＋1＞0在R上恒成立， ∴应满足Δ＝a2－4＜0，即0＜a＜2， ∴命题q：0＜a＜2. 由p∨q为真命题，p∧q为假命题得p、q一真一假． ①当p真、q假时，∴a≥2； ②当p假，q真时，∴0＜a≤1. 综上知，a的取值范围为{a|a≥2或0＜a≤1}． 命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假应用的两个过程： (1)由命题“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假推出p和q的真假，其结论如下： ①若“p∧q”为真，则p和q均为真；若“p∧q”为假，则p和q至少有一个为假； ②若“p∨q”为真，则p和q至少有一个为真；若“p∨q”为假，则p和q都为假； ③命题p和命题綈p真假相反． (2)由p和q真假转化为相应的数学问题，再结合正确的逻辑推理方法求得结论． (2013·湛江高二检测)已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围． 【解】　p：解得m＞2. q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0， 解得1＜m＜3. ∵p或q为真，p且q为假． ∴p为真，q为假，或p为假，q为真， 即或 所以m的取值范围为{m|m≥3或1＜m≤2}. (对应学生用书第12页) 混淆命题的否定与否命题致误 　写出命题：“若x2－x－2≠0，则x＝－1且x＝2”的否定． 【错解】　若x2－x－2＝0，则x≠－1或x≠2. 【错因分析】　本题误将命题的否定写成了命题的否命题． 【防范措施】　命题的否定是将命题的结论进行否定，而否命题则是将原命题的条件与结论都分别否定，书写时一定要区分开． 【正解】　若x2－x－2≠0，则x≠－1或x≠2 1．对逻辑联结词“且”、“或”、“非”的理解可以类比集合部分所学的“交集”“并集”“补集”；也可以联系电学中的“两个开关串联”“两个开关并联”“一个开关的开和关”． 2．判断含逻辑联结词的命题的真假步骤： ①分析命题的构成形式； ②判断每个简单命题的真假； ③根据真值表判断含逻辑联结词的命题的真假． 3．命题的“否定”和它的“否命题”是两个不同的概念．从结构上看，一个命题的否定只对结论一次性否定，而它的否命题要对条件和结论都否定，即两次否定；从真假关系上看，一个命题和它的否定命题的真假性一定相反，而一个命题和它的否命题之间的真假没有任何关系． (对应学生用书第12页) 1．命题“2 013≥2 012”使用逻辑联结词的情况是(　　) A．使用了逻辑联结词“或” B．使用了逻辑联结词“且” C．使用了逻辑联结词“非” D．以上都不对 【解析】　符号“≥”读作大于或等于，使用了逻辑联结词“或”． 【答案】　A 2．已知命题p：5≤5，q：5＞6.则下列说法正确的是 (　　) A．p∧q为真，p∨q为真，綈p为真 B．p∧q为假，p∨q为假，綈p为假 C．p∧q为假，p∨q为真，綈p为假 D．p∧q为真，p∨q为真，綈p为假 【解析】　易知p为真命题，q为假命题，由真值表可得：p∧q为假，p∨q为真，綈p为假． 【答案】　C 3．若命题p：矩形的四个角都是直角，则綈p为：______. 【答案】　矩形的四个角不都是直角 4．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p∧q和綈q都是假命题，求x的取值集合． 【解】　∵綈q是假命题，∴q为真命题． 又p∧q为假命题．∴p为假命题． 因此x2－x＜6且x∈Z. 解之得－2＜x＜3且x∈Z. 故x＝－1,0,1,2.所以x取值的集合是{－1,0,1,2}. 一、选择题 1．(2013·济南高二检测)若命题p：x∈A∩B，则“綈p”为(　　) A．x∈A且x∉B　　　　B．x∉A或x∉B C．x∉A且x∉B D．x∈A∪B 【解析】　p：x∈A∩B即x∈A且x∈B.故綈p为：x∉A或x∉B. 【答案】　B 2．已知命题p，q，则命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　p或q为真命题⇒/p且q为真命题，而p且q为真命题⇒p或q为真命题． 【答案】　B 3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是(　　) A．(綈p)∨q　　　　　　　　　B．p∧q C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q) 【解析】　不难判断出命题p为真命题，而命题q是假命题，结合选项，只有“(綈p)∨(綈q)”为真命题． 【答案】　D 4．下列判断错误的是(　　) A．命题“p且q”的否定是“綈p或綈q” B．|a|＜1且|b|＜2是|a＋b|＜3的充要条件 C．x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件 D．命题p：若M∪N＝M(M，N为两个集合)，则N⊆M，命题q：5∉{2,3}，则命题“p且q”为真 【解析】　A正确；当a＝5，b＝－4时，有|a＋b|＜3⇒/|a|＜1且|b|＜2，故B错误，x＝1时，x2－3x＋2＝0，反之不成立，C正确；对于D：p为真命题，q也为真命题；故“p且q”为真，D对． 【答案】　B 5．(2013·临沂高二检测)p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是(　　) A．(0，－3) B．(1,2) C．(1，－1) D．(－1,1) 【解析】　要使“p∧q”为真命题，须满足p为真命题，q为真命题，即点p(x、y)即在直线上，也在曲线上，只有C满足． 【答案】　C 二、填空题 6．下列命题 ①命题“－1是偶数或奇数”； ②命题“属于集合Q，也属于集合R”； ③命题“A⃘A∪B”． 其中，真命题为________． 【解析】　①∵－1为奇数，∴为真命题；②为无理数，∉Q，为假命题；③∵A⊆(A∪B)，∴为假命题． 【答案】　① 7．设命题p：2x＋y＝3，q：x－y＝6，若p∧q为真命题，则x＝________，y＝________. 【解析】　由题意有解得 【答案】　3　－3 8．若“x∈[2,5]或x∈(－x,1)∪(4，＋∞)”是假命题，则x的取值范围是________． 【解析】　∵x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪[4，＋∞)，故x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题为假命题，所以1≤x＜2，即x∈[1,2)． 【答案】　[1,2) 三、解答题 9．分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题的真假． (1)命题p：正方形的两条对角线互相垂直，命题q：正方形的两条对角线相等； (2)命题p：“x2－3x－4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件； 命题q：若函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝. 【解】　(1)因为p、q均为真命题， ∴p∧q，p∨q为真，綈p为假命题． (2)由x2－3x－4＝0，得x＝4或x＝－1. ∴命题p是真命题， 又函数f(x)的图象关于y轴对称， ∴φ＝kπ＋(k∈Z)，则命题q是假命题． 由于p真，q假， ∴綈p、p∧q为假命题，p∨q为真命题． 10．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数y＝loga(x－1)在(1，＋∞)上单调递减，命题q：曲线y＝x2＋(a－2)x＋4与x轴交于不同的两点．若“綈p且q”为真命题，求实数a的取值范围． 【解】　由函数y＝loga(x－1)在(1，＋∞)上单调递减，知0＜a＜1. 若曲线y＝x2＋(a－2)x＋4与x轴交于不同的两点， 则(a－2)2－16＞0， 即a＜－2或a＞6. 又a＞0且a≠1，∴a＞6. 又因为“綈p且q”为真命题，所以p为假命题，q为真命题，于是有所以a＞6. 因此，所求实数a的取值范围是(6，＋∞)． 11．已知m＞0，p：(x＋2)(x－6)≤0，q：2－m≤x≤2＋m. (1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若m＝5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围． 【解】　p：－2≤x≤6，q：2－m≤x≤2＋m(m＞0)． (1)∵p是q的充分条件 ∴解之得m≥4. 故实数m的取值范围是[4，＋∞)． (2)当m＝5时，q：－3≤x≤7. ∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题， ∴p、q一真一假， ∴－3≤x＜－2或6＜x≤7. 因此，实数x的取值范围是[－3，－2)∪(6,7]. (教师用书独具) 给出下列三个不等式：①|x－1|＋|x＋4|＜a；②(a－3)x2＋(a－2)x－1＞0；③a＞x2＋.若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a的取值范围． 【解】　对于 ①，因为|x－1|＋|x＋4|≥|(x－1)－(x＋4)|＝5， 所以当不等式|x－1|＋|x＋4|＜a的解集为空集时，实数a的取值范围是a≤5. 对于②，当a＝3时，不等式的解集为{x|x＞1}，不是空集； 当a≠3时，要使不等式(a－3)x2＋(a－2)x－1＞0的解集为空集，则解得－2≤a≤2. 对于③，因为x2＋≥2＝2， 当且仅当x2＝，即x＝±1时取等号， 所以不等式a＞x2＋的解集为空集时，a≤2. 因此，当三个不等式的解集都为空集时，－2≤a≤2. 所以要使三个不等式中至多有两个不等式的解集为空集， 则实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 已知方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围． 【解】　假设三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0都没有实数根， 则 即 ∴a≤－，或a≥－1.