高中数学人教A版选修1-1 第一章常用逻辑用语 学业分层测评2 Word版含答案.doc

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是(　　) A．原命题、否命题　　　 B．原命题、逆命题 C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题 【解析】　因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题． 【答案】　C 2．有下列四个命题： (1)“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题； (2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题； (3)“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题； (4)“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是(　　) A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3 【解析】　 (1) 假 原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，为假命题 (2) 假 原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题 (3) 假 该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题 (4) 假 该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，显然是假命题 【答案】　A 3．下列说法中错误的个数是(　　) ①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”； ②命题“若x＞1，则x－1＞0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”； ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”； ④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”． A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 【解析】　①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”． 【答案】　C 4．已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为(　　) A．3　　　　B．2 C．1　　　　D．0 【解析】　易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B. 【答案】　B 5．在下列四个命题中，真命题是(　　) A．“x＝3时，x2＋2x－3＝0”的否命题 B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题 C．若ac>bc，则a>b D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 【解析】　A中命题的否命题为“x≠3时，x2＋2x－3≠0”，是假命题；B中命题的逆命题为“若b2＝9，则b＝3”，是假命题；C中当c<0时，为假命题；D中原命题与逆否命题等价，都是真命题．故选D. 【答案】　D 二、填空题 6．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________． 【答案】　若x，y不全为零，则xy≠0 7．下列命题中： ①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②正方形的四条边相等； ③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形． 其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号) 【答案】　②和③　①和③　①和② 8．给出下列命题： ①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题； ②命题“△ABC中，若AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题； ③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题； ④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题． 其中，真命题的序号为________. 【导学号：26160008】 【解析】　①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题； ②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题； ③因为命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，故其逆否命题是真命题； ④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集是R，则m>1，假命题． 所以应填①②③. 【答案】　①②③ 三、解答题 9．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． 【解】　逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2； 否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b； 逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2. 原命题是假命题． 逆否命题也是假命题． 逆命题是假命题． 否命题也是假命题． 10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”． (1)写出命题p的否命题； (2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论． 【解】　(1)命题p的否命题为“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”． (2)命题p的否命题是真命题． 证明如下： ∵ac＜0， ∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根． ∴该命题是真命题． [能力提升] 1．(2014·陕西高考)原命题为“若<an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　) A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 【解析】　<an⇔an＋1<an⇔{an}为递减数列． 原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A. 【答案】　A 2．下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若x＝1，则x2＝1”的逆命题；④若m＞2，则x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为(　　) A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3 【解析】　命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则x＋y≠0”，为假命题； 命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题； 命题③的逆命题是“若x2＝1，则x＝1”，为假命题； 命题④为真命题，当m＞2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＜0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0. 【答案】　B 3．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________. 【导学号：26160009】 【解析】　由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立． ∴ ∴1≤m≤2. 【答案】　[1,2] 4．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假． 【解】　(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可． 方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4＞0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．