高中数学人教A版必修四课时训练：3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 Word版含答案.docx

3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 课时目标　1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用． 1．两角和与差的正切公式 (1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________. (2)T(α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝____________________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________. tan α·tan β＝______________________________________________________________. (2)T(α－β)的变形： tan α－tan β＝______________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________. tan αtan β＝______________________________________________________________. 一、选择题 1．已知α∈，sin α＝，则tan的值等于(　　) A.　　　　B．7　　　　C．－　　　D．－7 2．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是(　　) A. B．－ C．－7 D．－ 3．已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是(　　) A. B. C. D. 4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于(　　) A．1 B．2 C．tan 10° D.tan 20° 6．在△ABC中，角C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　) A. B. C. D. 题　号 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空题 7.＝________. 8．已知tan＝2，则的值为________． 9．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________. 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________. 三、解答题 11．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状． 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. 求tan(α＋β)的值． 能力提升 13．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 14．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝. (1)求证：tan A＝2tan B； (2)设AB＝3，求AB边上的高． 1．公式T(α±β)的适用范围 由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)． 2．公式T(α±β)的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等． 要特别注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝. 3．公式T(α±β)的变形应用 只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路． 3．1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 答案 知识梳理 1．(1)　(2) 2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β)　tan(α＋β)　1－ (2)tan(α－β)(1＋tan αtan β)　tan(α－β)　－1 作业设计 1．A　2.C　3.C 4．A　[tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝， ∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－， ∴C为钝角．] 5．A　[原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10° ＝(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°) ＝tan 30°＝1.] 6．B　[tan(A＋B)＝－tan C＝－tan 120°＝， ∴tan(A＋B)＝＝，即＝，解得tan A·tan B＝.] 7．－ 8. 解析　∵tan＝2，∴＝2， 解得tan α＝. ∴＝＝＝＝. 9．－ 解析　＝＝＝＝－. 10．1 解析　tan β＝＝. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴＝1，∴tan(α＋β)＝1. 11．解　由tan B＋tan C＋tan Btan C＝， 得tan B＋tan C＝(1－tan Btan C)． ∴tan(B＋C)＝＝， 又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝. 又tan A＋tan B＋1＝tan Atan B， ∴tan A＋tan B＝－(1－tan Atan B)， ∴tan(A＋B)＝＝－， 而A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，又∵A＋B＋C＝π， ∴A＝，B＝C＝.∴△ABC为等腰三角形． 12．解　由条件得cos α＝，cos β＝. ∵α，β为锐角，∴sin α＝＝， sin β＝＝. 因此tan α＝＝7，tan β＝＝. tan(α＋β)＝＝＝－3. 13．解　tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝>0. 而α∈(0，π)，故α∈(0，)． ∵tan β＝－，0<β<π，∴<β<π. ∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0， ∴－π<α－β<－. ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． ∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝1， ∴2α－β＝－. 14．(1)证明　∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝， ∴⇒⇒＝2，所以tan A＝2tan B. (2)解　∵<A＋B<π，sin(A＋B)＝，∴tan(A＋B)＝－，即＝－. 将tan A＝2tan B代入上式并整理得，2tan2 B－4tan B－1＝0. 解得tan B＝，舍去负值，得tan B＝. ∴tan A＝2tan B＝2＋.设AB边上的高为CD. 则AB＝AD＋DB＝＋＝. 由AB＝3，得CD＝2＋.∴AB边上的高等于2＋.