高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用.doc

1.7.1　定积分在几何中的应用 明目标、知重点 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 1．当x∈a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃf(x)dx. 2．当x∈a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝－ʃf(x)dx. 3．当x∈a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝ʃf(x)－g(x)]dx.(如图) 探究点一　求不分割型图形的面积 思考　怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ 答　求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可． 例1　计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S. 解　由得交点的横坐标为x＝0及x＝1. 因此，所求图形的面积为 S＝S曲边梯形OABC—S曲边梯形OABD ＝ʃdx－ʃx2dx ＝x|－x3| ＝－＝. 反思与感悟　求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形； (2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示； (5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果． 跟踪训练1　求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积． 解　由 得或， 所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S， 根据图形可得S＝ʃ(－x＋2)dx－ʃ(x2－4)dx ＝(2x－x2)|－(x3－4x)| ＝－(－)＝. 探究点二　分割型图形面积的求解 思考　由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？ 答　求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下． 例2　计算由直线y＝x－4，曲线y＝以及x轴所围图形的面积S. 解　方法一　作出直线y＝x－4，曲线y＝的草图． 解方程组 得直线y＝x－4与曲线y＝交点的坐标为(8,4)． 直线y＝x－4与x轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为 S＝S1＋S2 ＝ʃdx＋ ＝|＋|－(x－4)2| ＝. 方法二　把y看成积分变量，则 S＝ʃ(y＋4－y2)dy＝(y2＋4y－y3)| ＝. 反思与感悟　两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限． 跟踪训练2　求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积． 解　画出图形，如图所示． 解方程组 及 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以S＝ʃ－(－x)]dx＋ʃ(2－x)－(－x)]dx ＝ʃ(＋x)dx＋ʃ(2－x＋x)dx ＝(x＋x2)|＋(2x－x2＋x2)| ＝＋＋(2x－x2)| ＝＋6－×9－2＋ ＝. 探究点三　定积分的综合应用 例3　在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求： 切点A的坐标以及在切点A处的切线方程． 解　如图，设切点A(x0，y0)， 其中x0≠0， 由y′＝2x，过点A的切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x－x， 令y＝0，得x＝，即C(，0)， 设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S， 则S＝S曲边△AOB－S△ABC， ∵S曲边△AOB＝ʃx00x2dx＝x3|x00＝x， S△ABC＝|BC|·|AB| ＝(x0－)·x＝x. ∴S＝x－x＝x＝. ∴x0＝1， 从而切点为A(1,1)， 切线方程为2x－y－1＝0. 反思与感悟　本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决． 跟踪训练3　如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值． 解　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1， 所以，抛物线与x轴所围图形的面积 S＝ʃ(x－x2)dx＝|＝. 又 由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k， 所以，＝ʃ(x－x2－kx)dx ＝| ＝(1－k)3. 又知S＝，所以(1－k)3＝， 于是k＝1－ ＝1－. 1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有(　　) S＝ʃf(x)－g(x)]dx　　S＝ʃ(2－2x＋8)dx ①　　　　　　　　　　② S＝ʃf(x)dx－ʃf(x)dx　 ③　　　　　　　　　　④ A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 答案　D 解析　①应是S＝ʃf(x)－g(x)]dx， ②应是S＝ʃ2dx－ʃ(2x－8)dx， ③和④正确，故选D. 2．曲线y＝cos x(0≤x≤π)与坐标轴所围图形的面积是(　　) A．2 B．3 C. D．4 答案　B 解析　S＝cos xdx－cos xdx ＝sin x|－sin x| ＝sin －sin 0－sin ＋sin ＝1－0＋1＋1＝3. 3．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为________． 答案　 解析　解方程组得 ∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0)． ∴S＝ʃ(2x－x2)dx＝(x2－x3)| ＝(4－)－0＝. 4．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________． 答案　 解析　由图形可得 S＝ʃ(x2＋4－5x)dx＋ʃ(5x－x2－4)dx＝(x3＋4x－x2)|＋ (x2－x3－4x)| ＝＋4－＋×42－×43－4×4－＋＋4＝. 呈重点、现规律] 对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差． 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的． 一、基础过关 1．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(　　) A．ʃf(x)dx B．|ʃf(x)dx| C．ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx D．ʃf(x)dx－ʃf(x)dx 答案　D 解析　∵x∈a，b]时，f(x)<0，x∈b，c]时，f(x)>0， ∴阴影部分的面积S＝ʃf(x)dx－ʃf(x)dx. 2．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　) A. B．2 C. D. 答案　C 解析　∵抛物线方程为x2＝4y， ∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y＝1. 如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝x2的图象和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)， 即S＝4－2ʃdx＝＝4－＝. 3．若y＝f(x)与y＝g(x)是a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为(　　) A．∫af(x)－g(x)]dx B．∫ag(x)－f(x)]dx C．∫a|f(x)－g(x)|dx D. 答案　C 解析　当f(x)＞g(x)时， 所求面积为∫af(x)－g(x)]dx； 当f(x)≤g(x)时，所求面积为∫ag(x)－f(x)]dx. 综上，所求面积为∫a|f(x)－g(x)|dx. 4．曲线y＝x2－1与x轴所围成图形的面积等于(　　) A. B. C．1 D. 答案　D 解析　函数y＝x2－1与x轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y轴对称，故所求面积为 S＝2ʃ(1－x2)dx＝2(x－x3)| ＝2×＝. 5．由曲线y＝与y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为________． 答案　ʃ(－x3)dx 解析　画出y＝和y＝x3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组得交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝ʃ(－x3)dx. 6．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝______. 答案　 解析　图形如图所示： S＝ʃx2dx－ʃx2dx ＝ʃx2dx ＝x3|＝. 二、能力提升 7．设f(x)＝则ʃf(x)dx等于(　　) A. B. C. D．不存在 答案　C 解析　数形结合，如图， ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃ(2－x)dx ＝x3|＋(2x－x2)| ＝＋(4－2－2＋)＝. 8．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是，则c等于(　　) A. B. C．1 D. 答案　B 解析　由得x＝0或x＝. ∵0<x<时，x2>cx3， ∴S＝(x2－cx3)dx ＝(x3－cx4)| ＝－＝＝. ∴c3＝. ∴c＝. 9．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________． 答案　 解析　根据题意得：S阴＝ʃ3x2dx＝x3|＝1，则点M取自阴影部分的概率为＝＝. 10．求曲线y＝6－x和y＝，y＝0围成图形的面积． 解　作出直线y＝6－x，曲线y＝的草图，所求面积为图中阴影部分的面积． 解方程组得直线y＝6－x与曲线y＝交点的坐标为(2,4)，直线y＝6－x与x轴的交点坐标为(6,0)． 因此，所求图形的面积S＝S1＋S2 ＝ʃdx＋ʃ(6－x)dx ＝×|＋(6x－x2)| ＝＋(6×6－×62)－(6×2－×22)] ＝＋8＝. 11．求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积． 解　由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6， 由得两直线交点坐标为C(2,2)， ∴S＝S△ABC－ʃ(－x2＋4x－3)dx ＝×2×2－＝2－＝. 12．设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2. (1)当S1＝S2时，求点P的坐标； (2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值． 解　(1)设点P的横坐标为t(0<t<2)， 则P点的坐标为(t，t2)， 直线OP的方程为y＝tx. S1＝ʃ(tx－x2)dx＝t3， S2＝ʃ(x2－tx)dx＝－2t＋t3. 因为S1＝S2， 所以t＝，点P的坐标为(，)． (2)S＝S1＋S2＝t3＋－2t＋t3 ＝t3－2t＋，S′＝t2－2， 令S′＝0得t2－2＝0. 因为0<t<2，所以t＝， 因为0<t<时，S′<0；<t<2时，S′>0. 所以，当t＝时， S1＋S2有最小值－， 此时点P的坐标为(，2)． 三、探究与拓展 13．已知抛物线y＝x2－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值． 解　作出y＝x2－2x的图象如图． (1)当a<0时， S＝ʃ(x2－2x)dx ＝(x3－x2)|＝－＋a2 ＝， ∴(a＋1)(a－2)2＝0. ∵a<0，∴a＝－1. (2)当a>0时， ①若0<a≤2，则 S＝－ʃ(x2－2x)dx ＝－(x3－x2) ＝a2－a3＝， ∴a3－3a2＋4＝0 即(a＋1)(a－2)2＝0. ∵a>0，∴a＝2. ②当a>2时， S＝－ʃ(x2－2x)dx＋ʃ(x2－2x)dx ＝－(x3－x2)|＋(x3－x2)| ＝－(－4)＋(a3－a2－＋4) ＝＋(a3－a2－＋4)＝. ∴a3－a2＋＝0 ∴a>2不合题意． 综上a＝－1，或a＝2.