高中数学教案选修2-2《第2章 复习与小结》.doc

教学目标： 1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解直接证明的基本方法：分析法、综合法和数学归纳法；了解分析法、综合法和数学归纳法的思考过程、特点． 4．了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识． 教学重点： 了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识． 教学难点： 认识数学本质，把握数学本质，灵活选择并运用所学知识解决问题． 教学过程： 一、 知识回顾 本章知识结构： 基础知识过关： （1）合情推理包括 推理、 推理． （2） 称为归纳推理；它是一种由 到 ，由 到 的推理． （3） 称为类比推理；它是一种由 到 的推理． （4）归纳推理的一般步骤是：① ，② ． （5）类比推理的一般步骤是：① ，② ． （6）从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们称这种推理为 ，它是一种 到 的推理． （7） 和 是直接证明的两种基本方法． （8）反证法证明问题的一般步骤：① ，② ， ③ ；④ ． （9）数学归纳法的基本思想 ； 数学归纳法证明命题的步骤：① ，② ， ③ ． 二、数学运用 例1　（1）考察下列一组不等式：23＋53＞22·5＋2·52，24＋54＞23·5＋2·53，25＋55＞23·52＋22·53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 ． （2）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为 ． （3）若数列{an}是等差数列，对于bn＝(a1＋a2 ＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于dn＞0，则dn＝ 时，数列{dn}也是等比数列． 解　（1）； （2）体积比为1∶8； （3）． 说明　（1）是从个别情况到一般情况的合情推理； （2）是从平面到空间的类比推理； （3）是从等差数列到等比数列的类比推理． 例2　若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，分别用综合法和分析法证明：． 证明　（分析法）要证， 只需证， 即证， ∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°， 由余弦定理得，即， 故原命题成立． （综合法）∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°， 由余弦定理得，即， 或， 两边同除以得． 说明　分析法和综合法是两种常用的直接证明方法．分析法的特点是执果索因，综合法的特点是由因导果，分析法常用来探寻解题思路，综合法常用来书写解题过程． 例3　已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于． 分析　“不能同时大于”包含多种情形，不易直接证明，可考虑反证法． 证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a同时大于， 即 (1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞， ∵a，b，c∈(0，1)， ∴三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞， 又， 同理，， ∴(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞，这与假设矛盾，故原命题得证． 说明　反证法属于“间接证明法”，是从反面的角度思考问题的证明方法．用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况： （1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾； （2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾； （3）导出一个恒假命题． 使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），是正确运用反证法的前提．当遇到否定性、惟一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法． 例4　已知数列{an}，an ≥0，a1＝0，an＋12＋an＋1－1＝ an 2(n∈N*) 记Sn＝a1＋a2＋…＋an．Tn ． 求证：当n∈N*时，（1）an＜an＋1 ；（2）Sn＞n－2 ；（3）Tn＜3． 解　（1）证明：用数学归纳法证明． ① n＝1时，因为a2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1＜a2． ② 设当n＝k(k∈N*)时，ak＜ak＋1， 因为ak＋12－ak2＝(ak＋22＋ak＋2－1)－(ak＋12＋ak＋1－1) ＝(ak＋1－ak＋1) (ak＋1＋ak＋1＋1)， 所以ak＋1＜ak＋2． 即当n＝k＋1时，an＜an＋1也成立． 根据①和②，可知an＜an＋1对任何n∈N*都成立． （2）证明：由ak＋12＋ak＋1－1＝ak2，k＝1，2，…，n－1（n≥2）， 得an2＋(a2＋a3＋…＋an)－(n－1)＝a12． 因为a1＝0，所以Sn＝n－1－an2． 由an＜an＋1及an＋1＝1＋an2－2an＋12＜1，得an＜1， 所以Sn＞n－2． （3）证明：由ak＋12＋ak＋1＝1＋ak2≥2 ak，得 ( k＝2，3，…，n－1，n≥3) 所以( a≥3)， 于是＝＜( n≥3)， 故当n≥3时，， 又因为T1＜T2＜T3， 所以Tn＜3． 三、学生总结 引导学生从知识、方法、收获三个方面进行小结，明确推理、归纳推理的概念及彼此间的关系．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力． 四、课后作业 教材第102—103页复习题第3题，第4题，第5题，第9题，第12题，第13题．