高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评23 Word版含答案.doc

学业分层测评（二十三） (建议用时：45分钟) [达标必做] 一、选择题 1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　) A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 【解析】　易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)． 【答案】　C 2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是(　　) A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0 C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0 【解析】　结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－(x－1)，整理得x＋2y－5＝0. 【答案】　B 3．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　) A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12 【解析】　法一：由3x＋4y＝b得y＝－x＋，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12. 法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以＝1，解得b＝2或12. 【答案】　D 4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．－1或 B．1或3 C．－2或6 D．0或4 【解析】　由弦长公式l＝2，可知圆心到直线的距离d＝，即＝，解得a＝0或4. 【答案】　D 5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝(　　) A．10－2 B．5－ C．10－3 D．5－ 【解析】　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为＝3<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦， 即n＝2＝2. ∴m－n＝10－2. 【答案】　A 二、填空题 6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________. 【导学号：09960140】 【解析】　圆心到直线的距离d＝＝，半径r＝2，∴|AB|＝2＝2. 【答案】　2 7．(2015·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有________个． 【解析】　圆的方程可化为 (x＋1)2＋(y＋2)2＝8， 所以弦心距为d＝＝. 又圆的半径为2，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有3个． 【答案】　3 三、解答题 8．过点A(1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长． 【解】　因为tan 135°＝－tan 45°＝－1， 所以直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. 圆心到直线的距离d＝＝ ＜r＝2，所以直线与圆相交． 弦长为2＝2＝2. 9．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点． (1)求圆A的方程； (2)当|MN|＝2时，求直线l的方程． 【解】　(1)设圆A的半径为r， ∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切， ∴r＝＝2， ∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)当直线l与x轴垂直时， 则直线l的方程x＝－2， 此时有|MN|＝2，即x＝－2符合题意． 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＝0， ∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN， ∴|AQ|2＋2＝r2， 又∵|MN|＝2，r＝2， ∴|AQ|＝＝1， 解方程|AQ|＝＝1，得k＝， ∴此时直线l的方程为y－0＝(x＋2)， 即3x－4y＋6＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. [自我挑战] 10．直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是(　　) A．b＝ B．－1＜b≤1或b＝－ C．－1≤b≤1 D．以上都不正确 【解析】　如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意． ∵l1与半圆相切，∴b＝－； 当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1； 当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1. ∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－. 【答案】　B 11．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程； (2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程. 【导学号：09960141】 【解】　(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. ∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行， ∴2r＝＝4，∴r＝2， ∴＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10， ① ＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10， ② 又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直， ∴＝， ③ 由①②③解得 ∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20. (2)设圆心坐标为(3m，m)． ∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|， ∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1， ∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.