高中数学人教A版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 学业分层测评7 Word版含答案.doc

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5,3，　　　　　　　 B．10,6， C．5,3， D．10,6， 【解析】　椭圆方程可化为＋＝1. ∴a＝5，b＝3，c＝4， ∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6， 离心率e＝＝.故选B. 【答案】　B 2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵椭圆焦点在x轴上， ∴0＜m＜2，a＝，c＝， e＝＝＝. 故＝，∴m＝. 【答案】　B 3．中心在原点，焦点在x轴，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【解析】　因为2a＝18,2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.故所求方程为＋＝1. 【答案】　A 4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　) A. B. C. D. 【解析】　由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，又e>0，故所求的椭圆的离心率为.故选B. 【答案】　B 5．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　) A．(0,3) B. C．(0,3)∪ D．(0,2) 【解析】　当焦点在x轴上时，e2＝＝∈， 解得0＜k＜3. 当焦点在y轴上时， e2＝＝∈， 解得k＞.综上可知选C. 【答案】　C 二、填空题 6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为________. 【导学号：26160036】 【解析】　由题意得 解得 ∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 【答案】　＋＝1或＋＝1 7．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________． 【解析】　若焦点在x轴上，则＝1－2＝，k＝；若焦点在y轴上，则＝，∴k＝－3. 【答案】　或－3 8．(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________． 【解析】　设P点到x轴的距离为h，则 S△PF1F2＝|F1F2|h， 当P点在y轴上时，h最大，此时S△PF1F2最大， ∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3. 【答案】　3 三、解答题 9．椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程． 【解】　因为椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a－c＝2－.又e＝＝， ∴a＝2，c＝，b2＝1， ∴椭圆的方程为＋x2＝1. 10.如图2－1－3所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率． 图2－1－3 【解】　设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c.因为MF2⊥F1F2，所以△MF1F2为直角三角形． 又∠MF1F2＝30°， 所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝|MF1|. 而由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a， 因此|MF1|＝，|MF2|＝， 所以2c＝×，即＝， 即椭圆的离心率是. [能力提升] 1．(2016·长沙一模)已知P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1F2＝60°，|PF2|＝|PF1|，则椭圆的离心率为(　　) A. B.－1 C．2－ D．1－ 【解析】　由题意可得△PF1F2是直角三角形，|F1F2|＝2c，|PF1|＝c，|PF2|＝c.点P在椭圆上，由椭圆的定义可得e＝＝＝＝＝－1. 【答案】　B 2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　) A．2　　　　B．3 C．6　　　　D．8 【解析】　由题意得F(－1,0)， 设点P(x0，y0)， 则y＝3(－2≤x0≤2)， ·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2， 当x0＝2时，·取得最大值为6. 故选C. 【答案】　C 3．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是________. 【导学号：26160037】 【解析】　由题意得＝，解得c＝a.又短轴长为2b，则2b＝8，即b＝4，故b2＝a2－c2＝a2－2＝16，则a2＝25.故椭圆的标准方程为＋＝1. 【答案】　＋＝1 4．(2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； (2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率． 【解】　(1)由|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|BF1|＝1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5. (2)设|BF1|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得 |AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0， 而a＋k>0，故a＝3k， 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形． 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.