高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 学业分层测评14 Word版含答案.doc

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知函数y＝f(x)的图象如图3－1－6，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) 图3－1－6 A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 【解析】　f′(A)与f′(B)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(A)<f′(B)． 【答案】　B 2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A．不存在　　　　　　　 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 【解析】　f′(x0)＝0，说明曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以与x轴平行或重合． 【答案】　B 3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是(　　) A．(0,0) B．(2,4) C. D. 【解析】　∵y＝x2， ∴k＝y′＝ ＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x， ∴2x＝tan＝1， ∴x＝，则y＝. 【答案】　D 4．若曲线y＝x2上的点P处的切线与直线y＝－x＋1垂直，则过点P处的切线方程为(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x－y－2＝0 C．x＋2y＋2＝0 D．2x－y＋1＝0 【解析】　与直线y＝－x＋1垂直的直线的斜率为k＝2. 由y＝x2知，y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x. 设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0＝2，即x0＝1，故y0＝1. 所以过P(1,1)且与直线y＝－x＋1垂直的直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 【答案】　A 5．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为(　　) A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1) C．(2,8) D. 【解析】　设点P的坐标为(x0，y0)， 则k＝f′(x0)＝ ＝ ＝[(Δx)2＋3x＋3x0·Δx]＝3x. ∵k＝3，∴3x＝3. ∴x0＝1或x0＝－1， ∴y0＝1或y0＝－1. ∴点P的坐标为(－1，－1)或(1,1)． 【答案】　B 二、填空题 6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于________． 【解析】　因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3. 【答案】　3 7．若抛物线y＝2x2＋1与直线4x－y＋m＝0相切，则m＝________. 【导学号：26160074】 【解析】　设切点P(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2. ∴＝4x0＋2Δx. 当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0，即f′(x0)＝4x0.y′|x＝x0＝4x0， 由⇒ 即P(1,3)． 又P(1,3)在直线4x－y＋m＝0上， 故4×1－3＋m＝0，∴m＝－1. 【答案】　－1 8．若函数y＝f(x)的图象在点P(4，f(4))处的切线方程是y＝－2x＋9，则f(4)＋f′(4)＝________. 【解析】　由导数的几何意义知，f′(4)＝－2，又点P在切线上，则f(4)＝－2×4＋9＝1，故f(4)＋f′(4)＝－1. 【答案】　－1 三、解答题 9．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线． 【解】　曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率 k＝y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋2)＝2. ∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y－2＝2(x＋1)， 即2x－y＋4＝0. 所以所求直线方程为2x－y＋4＝0. 10．已知曲线y＝2x2－7，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)过点P(3,9)与曲线相切的切线方程． 【解】　y′＝ ＝ ＝ (4x＋2Δx)＝4x. (1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5)． (2)由于点P(3,9)不在曲线上． 设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0， 故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)． 将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式， 得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)． 解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0. [能力提升] 1．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为(　　) A．1　　　　B．－1 C．2　　　　D．－2 【解析】　令x→0，则2x→0，所以 ＝ ＝f′(1)＝－1，故过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为－1. 【答案】　B 2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图3－1－7所示，则该函数的图象是(　　) 图3－1－7 【解析】　由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小． 【答案】　B 3．如图3－1－8是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________. 图3－1－8 【解析】　由题图可知切线方程为y＝－x＋， 所以f(2)＝，f′(2)＝－， 所以f(2)＋f′(2)＝. 【答案】　 4．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 【导学号：26160075】 【解】　由＝＝2x＋Δx， 得y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x. 设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0， 由点斜式得所求切线方程为： y－y0＝2x0(x－x0)． 又因为切线过点(1，a)，且y0＝x＋1， 所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)， 即x－2x0＋a－1＝0. 因为切线有两条， 所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2. 故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，且a的取值范围是(－∞，2)．