高中数学人教A版必修四课时训练：3.2 简单的三角恒等变换 3.2 Word版含答案.docx

§3.2　简单的三角恒等变换 课时目标　1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律． 1．半角公式 (1)S：sin ＝____________________； (2)C：cos ＝____________________________； (3)T：tan ＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)． 2．辅助角公式 使asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定． 一、选择题 1．已知180°<α<360°，则cos 的值等于(　　) A．－ B. C．－ D. 2．函数y＝sin＋sin的最大值是(　　) A．2 B．1 C. D. 3．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 4．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　) A. B. C. D. 5．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 6．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于(　　) A．－ B. C．2 D．－2 题　号 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空题 7．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是______． 8．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是________． 9．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为________． 10. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____． 三、解答题 11．已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合． 12．已知向量m＝(cos θ，sin θ)和n＝(－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值． 能力提升 13．当y＝2cos x－3sin x取得最大值时，tan x的值是(　　) A. B．－ C. D．4 14．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值． 1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝(或sin φ＝，cos φ＝)． 3．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sin x±cos x＝sin；sin x±cos x＝2sin等． §3.2　简单的三角恒等变换 知识梳理 1．(1)± 　(2)± 　(3)± 　　 2.　　点(a，b) 作业设计 1．C 2．B　[y＝2sin xcos ＝sin x．] 3．D　[f(x)＝sin，x∈. ∵－≤x－≤， ∴f(x)min＝sin＝－1.] 4．D　[f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin. 当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.] 5．D　[f(x)＝2sin，f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)， 令k＝0得增区间为.] 6．A　[∵α是第三象限角，cos α＝－， ∴sin α＝－. ∴＝＝＝·＝＝＝－.] 7．π 解析　f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－ ＝sin(2x＋)－，∴T＝＝π. 8. 解析　设α为该等腰三角形的一底角， 则cos α＝，顶角为180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2·＝. 9．3 解析　设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝， 底角大小为(180°－α)． ∴tan＝tan＝＝＝＝3. 10. 解析　由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈. ∴cos θ－sin θ＝. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2. ∴cos θ＋sin θ＝. ∴cos 2θ＝cos2 θ－sin2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝. 11．解　(1)∵f(x)＝sin2＋1－cos2 ＝2＋1 ＝2sin＋1 ＝2sin＋1，∴T＝＝π. (2)当f(x)取得最大值时，sin＝1， 有2x－＝2kπ＋， 即x＝kπ＋ (k∈Z)， ∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}． 12．解　m＋n＝(cos θ－sin θ＋，cos θ＋sin θ)， |m＋n|＝ ＝＝ ＝2. 由已知|m＋n|＝，得cos＝. 又cos＝2cos2－1， 所以cos2＝. ∵π<θ<2π， ∴<＋<. ∴cos<0. ∴cos＝－. 13．B　[y＝2cos x－3sin x＝＝(sin φcos x－cos φsin x) ＝sin(φ－x)，当sin(φ－x)＝1，φ－x＝2kπ＋时，y取到最大值． ∴φ＝2kπ＋＋x，(k∈Z) ∴sin φ＝cos x，cos φ＝－sin x， ∴cos x＝sin φ＝，sin x＝－cos φ＝－. ∴tan x＝－.] 14．解　3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos 60°＋5cos(x＋20°)sin 60° ＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)＝sin(x＋20°＋φ)＝7sin 其中cos φ＝，sin φ＝.所以f(x)max＝7.