高中数学人教A版必修四模块综合检测（A） Word版含答案.docx

模块综合检测(A) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知△ABC中，tan A＝－，则cos A等于(　　) A. B. C．－ D．－ 2．已知向量a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若a⊥b，则实数k等于(　　) A. B．－2 C．－7 D．3 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 4．已知sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sin αcos α等于(　　) A. B．－ C.或－ D．－ 5．函数y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为(　　) A．y＝－4sin B．y＝4sin C．y＝－4sin D．y＝4sin 6．若|a|＝2cos 15°，|b|＝4sin 15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于(　　) A. B. C．2 D. 7．为得到函数y＝cos(x＋)的图象，只需将函数y＝sin x的图象(　　) A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　) A. B. C．－ D．－ 9．若2α＋β＝π，则y＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是(　　) A．7,5 B．7，－ C．5，－ D．7，－5 10．已知向量a＝(sin(α＋)，1)，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，则sin(α＋)等于(　　) A．－ B．－ C. D. 11．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 12．已知向量＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cos α，sin α)，则与夹角的范围是(　　) A. B. C. D. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．sin 2 010°＝________. 14．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(θ为锐角)，且a∥b，则tan θ＝________. 15．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在上的投影为________． 16．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ≤)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点(2，－)，则函数f(x)＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1)． (1)当a∥b时，求2cos2x－sin 2x的值； (2)求f(x)＝(a＋b)·b在[－，0]上的最大值． 18．(12分)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b. 19．(12分)已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，)． (1)求sin θ和cos θ的值； (2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0<φ<，求cos φ的值． 20．(12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，]上的最小值． 21．(12分)已知函数f(x)＝. (1)求f(－π)的值； (2)当x∈[0，)时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值． 22．(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝. (1)求cos(α－β)的值； (2)若0<α<，－<β<0，且sin β＝－，求sin α. 模块综合检测(A) 答案 1．D　[∵cos2A＋sin2A＝1，且＝－， ∴cos2A＋(－cos A)2＝1且cos A<0， 解得cos A＝－.] 2．D　[∵a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)． ∴b＝(a＋b)－a＝(1，k)－(2,1)＝(－1，k－1)． ∵a⊥b.∴a·b＝－2＋k－1＝0 ∴k＝3.] 3．D　[·＝(＋)·＝2＋·＝2＋0＝16.] 4．B　[∵sin(π－α)＝－2sin(＋α) ∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2. ∴sin αcos α＝＝＝＝－.] 5．A　[由图可知，A＝4，且 ，解得. ∴y＝4sin(x－)＝－4sin(x＋)．] 6．B　[由cos 30°＝得 ＝＝ ∴a·b＝，故选B.] 7．C　[y＝cos(x＋)＝sin(x＋＋)＝sin(x＋)， ∴只需将函数y＝sin x的图象向左平移个长度单位，即可得函数y＝cos(x＋)的图象．] 8．A　[由于＝2， 得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 结合＝＋λ，知λ＝.] 9．D　[∵β＝π－2α，∴y＝cos(π－2α)－6sin α ＝－cos 2α－6sin α＝2sin2α－1－6sin α ＝2sin2α－6sin α－1＝22－ 当sin α＝1时，ymin＝－5；当sin α＝－1时，ymax＝7.] 10．B　[a·b＝4sin(α＋)＋4cos α－＝2sin α＋6cos α－＝4sin(α＋)－＝0， ∴sin(α＋)＝. ∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－，故选B.] 11．B　[将f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位，若与原图象重合，则为函数f(x)的周期的整数倍，不妨设＝k·(k∈Z)，得ω＝4k，即ω为4的倍数，故选项B不可能．] 12．C　[ 建立如图所示的直角坐标系． ∵＝(2,2)，＝(2,0)， ＝(cos α，sin α)， ∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆． 过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM、CN，如图所示，则向量与的夹角范围是∠MOB≤〈，〉≤∠NOB. ∵||＝2，∴||＝||＝||， 知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝. ∴∠MOB＝，∠NOB＝，故≤〈，〉≤.] 13．－ 解析　sin 2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－. 14．1 解析　∵a∥b，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0. ∴cos2θ＝， ∵θ为锐角，∴cos θ＝， ∴θ＝，∴tan θ＝1. 15. 解析　＝(2,2)，＝(－1,3)． ∴在上的投影||cos〈，〉＝＝＝＝. 16．sin(＋) 解析　据已知两个相邻最高及最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin(＋φ)，又函数图象过点(2，－)，故f(x)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin(＋)． 17．解　(1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0， ∴tan x＝－， 2cos2x－sin 2x＝＝＝. (2)f(x)＝(a＋b)·b＝sin(2x＋)． ∵－≤x≤0，∴－≤2x＋≤， ∴－1≤sin(2x＋)≤， ∴－≤f(x)≤， ∴f(x)max＝. 18．(1)解　因为a与b－2c垂直， 所以a·(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2. (2)解　由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b＋c|＝＝≤4. 又当β＝－时，等号成立， 所以|b＋c|的最大值为4. (3)证明　由tan αtan β＝16得＝，所以a∥b. 19．解　(1)∵a·b＝0，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0， 即sin θ＝2cos θ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1， ∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝. 又θ∈(0，)，∴sin θ＝，cos θ＝. (2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ， ∴cos φ＝sin φ. ∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝. 又∵0<φ<，∴cos φ＝. 20．解　(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx. 所以f(x)＝sin ωxcos ωx＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＝sin＋. 由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝sin＋， 所以g(x)＝f(2x)＝sin＋. 当0≤x≤时，≤4x＋≤， 所以≤sin≤1. 因此1≤g(x)≤. 故g(x)在区间上的最小值为1. 21．解　(1)f(x)＝＝＝ ＝＝2cos 2x， ∴f(－)＝2cos(－)＝2cos ＝. (2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin(2x＋)． ∵x∈[0，)，∴2x＋∈[，)． ∴当x＝时，g(x)max＝，当x＝0时，g(x)min＝1. 22．解　(1)∵|a|＝1，|b|＝1， |a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)， |a－b|2＝()2＝， ∴2－2cos(α－β)＝得cos(α－β)＝. (2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π. 由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝， 由sin β＝－得cos β＝. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝×＋×(－)＝.