高中数学人教A版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 学业分层测评12 Word版含答案.doc

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　) A．有且仅有一条　　　　 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 【解析】　由定义，知|AB|＝5＋2＝7，因为|AB|min＝4，所以这样的直线有且仅有两条． 【答案】　B 2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 【解析】　设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝＝＝2.故选B. 【答案】　B 3．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　) A．1　　　　B．2 C．4　　　　D．8 【解析】　由y2＝x得2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线方程为l：x＝－，设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF|，从而x0＋＝x0，解得x0＝1，故选A. 【答案】　A 4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在抛物线上，得y＝2px1，① y＝2px2，② 由①－②，得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1＋y2＝4，直线AB的斜率为1，故2p＝4，p＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－＝－1. 【答案】　B 5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若O·A＝－4，则点A的坐标为(　　) 【导学号：26160061】 A．(2，±2) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2,2) 【解析】　设A(x，y)，则y2＝4x，① O＝(x，y)，A＝(1－x，－y)，O·A＝x－x2－y2＝－4，② 由①②可解得x＝1，y＝±2. 【答案】　B 二、填空题 6．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________． 【解析】　可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离， 设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切， 则由消去x得y2－4y＋4m＝0. ∴Δ＝16－16m＝0，m＝1. 又y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝＝， 则所求的最小距离为. 【答案】　 7．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________． 【解析】　设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16， ∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32， 当m＝0时，y＋y最小为32. 【答案】　32 8．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________. 【解析】　设过抛物线焦点的直线为y＝k， 联立得 整理得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0， x1＋x2＝，x1x2＝. |AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得k2＝24， 代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0 得12x2－13x＋3＝0， 解之得x1＝，x2＝，又|AF|＜|BF|， 故|AF|＝x1＋＝. 【答案】　 三、解答题 9．求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程． 【解】　如图所示，若直线的斜率不存在， 则过点P(0,1)的直线方程为x＝0， 由得 即直线x＝0与抛物线只有一个公共点． 若直线的斜率存在， 则设直线为y＝kx＋1，代入y2＝2x得： k2x2＋(2k－2)x＋1＝0， 当k＝0时，直线方程为y＝1，与抛物线只有一个交点． 当k≠0时，Δ＝(2k－2)2－4k2＝0⇒k＝.此时，直线方程为y＝x＋1. 可知，y＝1或y＝x＋1为所求的直线方程． 故所求的直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1. 10．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 【解】　由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)， 焦点F，直线l：x＝， ∴A，B两点坐标为，， ∴|AB|＝2|p|. ∵△OAB的面积为4， ∴··2|p|＝4，∴p＝±2. ∴抛物线方程为y2＝±4x. [能力提升] 1．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　) A. B．6 C．12 D．7 【解析】　∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点， ∴F， ∴AB的方程为y－0＝tan 30°， 即y＝x－. 联立得x2－x＋＝0. ∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝. 由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝＋＝12. 【答案】　C 2．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，O为原点，若||＝||，且抛物线的焦点恰好为△AOB的垂心，则直线AB的方程是(　　) A．x＝p B．x＝p C．x＝p D．x＝3p 【解析】　∵||＝|O|， ∴A，B关于x轴对称． 设A(x0，)，B(x0，－)． ∵AF⊥OB，F， ∴·＝－1， ∴x0＝p. 【答案】　C 3．(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________． 【解析】　由题意知机器人行进轨迹为以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.设过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)．代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，∴k2>1.∴k>1或k<－1. 【答案】　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．已知直线l：y＝x＋，抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上． (1)求抛物线C的方程； (2)设A，B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若O·O＝0(O为原点，A，B异于原点)，试求点N的轨迹方程. 【导学号：26160062】 【解】　(1)直线l：y＝x＋.① 过原点且垂直于l的直线方程为y＝－2x.② 由①②，得x＝－. ∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上， ∴－＝－×2，∴p＝2. ∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)． 由O·O＝0，得x1x2＋y1y2＝0. 又y＝4x1，y＝4x2， 解得y1y2＝－16.③ 直线ON：y＝x，即y＝x.④ 由③④及y＝y1，得点N的轨迹方程为x＝－4(y≠0)．