高中数学人教A版选修1-1 第一章常用逻辑用语 学业分层测评5 Word版含答案.doc

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的表述方法的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2＞3 B．对有些x∈R，使得x2＞3 C．任选一个x∈R，使得x2＞3 D．至少有一个x∈R，使得x2＞3 【答案】　C 2．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是(　　) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2＞0 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数x，使＞2 【解析】　只有A，C两个选项中的命题是全称命题，且A显然为真命题．因为是无理数，而()2＝2不是无理数，所以C为假命题． 【答案】　A 3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是(　　) A．四个命题都是真命题 B．①②是全称命题 C．②③是特称命题 D．四个命题中有两个是假命题 【答案】　C 4．(2014·湖南高考)设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则¬p为(　　) A．∃x0∈R，x＋1>0　　 B．∃x0∈R，x＋1≤0 C．∃x0∈R，x＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0 【解析】　根据全称命题的否定为特称命题知B正确． 【答案】　B 5．下列四个命题： p1：∃x∈(0，＋∞)，x＜x； p2：∃x∈(0,1)，x＞x； p3：∀x∈(0，＋∞)，x＞x； p4：∀x∈，x＜x. 其中的真命题是(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 【解析】　取x＝， 则x＝1，x＝log32＜1，p2正确． 当x∈时，x＜1，而x＞1，p4正确． 【答案】　D 二、填空题 6．(2016·大同二诊)已知命题p：“∃x0∈R，sin x0>1”，则¬p为________． 【解析】　根据特称命题的否定为全称命题，并结合不等式符号的变化即可得出¬p为∀x∈R，sin x≤1. 【答案】　∀x∈R，sin x≤1 7．若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________． 【解析】　由题意知，0<a2－1<1， ∴即解得 ∴1<a<或－<a<－1. 【答案】　(－，－1)∪(1, ) 8．若“∃x0∈R，x＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值范围是________. 【导学号：26160023】 【解析】　由于“∃x0∈R，x＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值集合就是二次函数f(x)＝x2＋2x＋2的值域，即{m|m≥1}． 【答案】　[1，＋∞) 三、解答题 9．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)有一个实数α，使sin2α＋cos2α≠1； (2)任何一条直线都存在斜率； (3)对于任意的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解； (4)存在实数x0，使得x0≤0. 【解】　(1)是一个特称命题，用符号表示为：∃α∈R，使sin2α＋cos2α≠1，假命题． (2)是一个全称命题，用符号表示为：∀直线l，l都存在斜率，假命题． (3)是一个全称命题，用符号表示为：∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解，假命题． (4)是一个特称命题，用符号表示为：∃x0∈R，使得x0≤0，真命题． 10．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图象都开口向下； (3)存在一个四边形不是平行四边形． 【解】　(1)是全称命题且为真命题． 命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题． 命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下． (3)是特称命题且为真命题． 命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形． [能力提升] 1．(2015·浙江高考)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　) A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0 D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0 【解析】　写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”． 【答案】　D 2．(2015·合肥二模)已知命题p：∀x∈R,2x<3x，命题q：∃x0∈R，x＝1－x，则下列命题中为真命题的是(　　) A．p∧q B．p∧(¬q) C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q) 【解析】　对于命题p，当x＝0时，20＝30＝1，所以命题p为假命题，¬p为真命题；对于命题q，作出函数y＝x3与y＝1－x2的图象，可知它们在(0,1)上有一个交点，所以命题q为真命题，所以(¬p)∧q为真命题，故选C. 【答案】　C 3．(2016·西城期末)已知命题p：∃x0∈R，ax＋x0＋≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________． 【解析】　因为命题p是假命题，所以¬p为真命题，即∀x∈R，ax2＋x＋>0恒成立．当a＝0时，x>－，不满足题意；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有 即解得所以a>，即实数a的取值范围是. 【答案】　 4．(2016·日照高二检测)已知p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围. 【导学号：26160024】 【解】　2x>m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m<0. 若p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)为真， 则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立． 当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立； 当m≠0时，有m<0，Δ＝4－4m2<0，所以m<－1. 若q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0为真， 则方程x＋2x0－m－1＝0有实根， 所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2. 又p∧q为真，故p，q均为真命题． 所以m<－1且m≥－2，所以－2≤m<－1.