高中数学人教A版必修四课时训练：2.4 平面向量的数量积 2.4.1 Word版含答案.docx

§2.4　平面向量的数量积 2．4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义 课时目标　1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律． 1．平面向量数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量______________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为____． (3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________． 2．数量积的几何意义 a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________________的乘积． 3．向量数量积的运算律 (1)a·b＝________(交换律)； (2)(λa)·b＝________＝________(结合律)； (3)(a＋b)·c＝______________________(分配律)． 一、选择题 1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．－1 2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(　　) A. B．－ C．± D．1 3．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 4．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于(　　) A．－ B．0 C. D．3 5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 题　号 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空题 7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________． 8．给出下列结论： ①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0. 其中正确结论的序号是________． 9．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________. 10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________． 三、解答题 11．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b； (3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积． 12．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|. 能力提升 13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影． 14．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角． 1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)． 2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同． 3．向量b在a上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分． §2.4　平面向量的数量积 2．4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义 答案 知识梳理 1．(1)|a||b|cos θ　(2)0　(3)|a|cos θ　|b|cos θ 2．|b|cos θ　3.(1)b·a　(2)λ(a·b)　a·(λb)　(3)a·c＋b·c 作业设计 1．D　[a在b方向上的投影是 |a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.] 2．A　[∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0. ∴λ＝.] 3．B　[|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2.] 4．A　[a·b＝·＝－·＝－||||cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－， ∴a·b＋b·c＋c·a＝－.] 5．C　[由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0， 设a与b的夹角为θ， ∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0. ∴cos θ＝－＝－＝－，∴θ＝120°.] 6．C　[∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|， ∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72. ∴|a|＝6.] 7．0 解析　b·(2a＋b)＝2a·b＋|b|2 ＝2×4×4×cos 120°＋42＝0. 8．④ 解析　因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确； 当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确； ④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)] ＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0. 9．120° 解析　∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2. 又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2， 即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2. ∴cos〈a，b〉＝－， ∴〈a，b〉＝120°. 10．[0,1] 解析　b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0， ∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b|≤1. 11．解　(1)当a∥b时，若a与b同向， 则a与b的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12. 若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12. (2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°， ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0. (3)当a与b的夹角为60°时， ∴a·b＝|a||b|cos 60°＝4×3×＝6. 12．解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝. |a＋b|＝＝＝＝5. |a－b|＝＝＝＝5. 13．解　(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝. |a＋b|＝＝＝＝1. ∴|2a－b|cos〈2a－b，a＋b〉＝|2a－b|·＝＝. ∴向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为. 14．解　∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°， ∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝. |a|＝|2m＋n|＝＝＝ ＝， |b|＝|2n－3m|＝＝＝ ＝， a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－. 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－. 又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.