高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算同步练习 新人教A版选修2-2.doc

选修2-2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 一、选择题 1．(2010·安徽理，1)i是虚数单位，＝(　　) A.－i　　　　　　　 B.＋i C.＋i D.－i [答案]　B [解析]　＝ ＝＝＋i，故选B. 2．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]　B [解析]　考查复数的运算． z＝－2＋i，对应点位于第二象限， ∴选B. 3．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于(　　) A．2i B．i C．－i D．－2i [答案]　D [解析]　本小题主要考查复数的运算． 设z＝bi(b∈R)，则＝＝＋i， ∴＝0，∴b＝－2， ∴z＝－2i，故选D. 4．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是(　　) A．－15 B．－3 C．3 D．15 [答案]　B [解析]　本题考查复数的概念及其简单运算． ＝＝＝－1＋3i＝a＋bi， ∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3. 5．设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 [答案]　C [解析]　考查阅读理解能力和复数的概念与运算． ∵a(z)表示使zn＝1的最小正整数n. 又使in＝1成立的最小正整数n＝4，∴a(i)＝4. 6．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则＝(　　) A．2－i B．2＋i C．－2－i D．－2＋i [答案]　A [解析]　考查复数的运算． z＝－1＋2i，则＝ ＝＝2－i. 7．设a，b∈R且b≠0，若复数(a＋bi)3是实数，则(　　) A．b2＝3a2 B．a2＝3b2 C．b2＝9a2 D．a2＝9b2 [答案]　A [解析]　本小题主要考查复数的运算． (a＋bi)3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i ＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i， ∴3a2b－b3＝0，∴3a2＝b2，故选A. 8．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于(　　) A．i B．－i C．±1 D．±i [答案]　D [解析]　本题主要考查复数的运算． 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 由z＋＝4，z ＝8得∴ ∴z＝2＋2i，＝2－2i或z＝2－2i，＝2＋2i，＝＝－i或＝＝i.∴＝±i，故选D. 9．(2010·新课标全国理，2)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝(　　) A.　 　　 B.　 　　 C．1　　　　 D．2 [答案]　A [解析]　∵z＝＝＝ ＝＝ ＝＝＝，∴＝， ∴z·＝|z|2＝，故选A. 10．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　) A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i [答案]　A [解析]　由定义得＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i ∴z＝＝3－i. 故应选A. 二、填空题 11.表示为a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________. [答案]　1 [解析]　本小题考查复数的除法运算． ∵＝＝i，∴a＝0，b＝1. 因此a＋b＝1. 12．若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝________. [答案]　1＋i [解析]　本题主要考查复数的运算． ∵z＝i(2－z)，∴z＝＝1＋i. 13．关于x的不等式mx2－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于原复平面内的第________象限． [答案]　二 [解析]　∵mx2－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集为(－1，2)，∴，即m<0，p>0. 故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限． 14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________． [答案]　 [解析]　设＝bi(b∈R且b≠0)，∴z1＝bi(z2)，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.∴⇒a＝. 三、解答题 15．计算： (1)＋2000＋； (2)1＋in＋i2n＋…＋i2000n(n∈N)． [解析]　(1)原式＝＋(－i)100＋ ＝i＋1＋＋i＝＋i. (2)当n＝4k(k∈N)时，原式＝1＋1＋…＋1＝2001. 当n≠4k(k∈N)时， 原式＝＝＝＝1. 16．已知复数z＝，ω＝z＋ai(a∈R)，当≤时，求a的取值范围． [解析]　z＝ ＝＝＝＝1－i ∵ω＝z＋ai＝1－i＋ai＝1＋(a－1)i ∴＝＝＝ ∴＝≤ ∴a2－2a－2≤0，∴1－≤a≤1＋ 故a的取值范围是[1－，1＋]． 17．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c∈R)． (1)求b，c的值； (2)试证明1－i也是方程的根． [解析]　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根 ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0 即b＋c＋(2＋b)i＝0 ∴解得. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0 把1－i代入方程左边得 左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立 ∴1－i也是方程的根． 18．已知ω＝z＋i(z∈C)，是纯虚数，又|ω＋1|2＋|ω－1|2＝16，求ω. [解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R) ∴＝＝ 由是纯虚数得　① ∴|ω＋1|2＋|ω－1|2＝|z＋i＋1|2＋|z＋i－1|2 ＝|a＋bi＋i＋1|2＋|a＋bi＋i－1|2 ＝|(a＋1)＋(b＋1)i|2＋|(a－1)2＋(b＋1)i|2 ＝(a＋1)2＋(b＋1)2＋(a－1)2＋(b＋1)2 ＝2(a2＋b2)＋4＋4b＝8＋4＋4b＝12＋4b＝16， ∴b＝1， 将b＝1代入①得a＝±. ∴z＝±＋i，ω＝±＋2i. - 6 -