高中数学 3.1.3课时同步练习 新人教A版选修2-1.doc

第3章 3.1.3 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c 解析：　对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，a2＝b2只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．故选B. 答案：　B 2．正方体ABCD－A′B′C′D′中，向量与的夹角是(　　) A．30°　　　　　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析：　BC′∥AD′，△AD′B′为正三角形， ∴∠D′AB′＝60°，∴〈，〉＝60°. 答案：　C 3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足A·A＝0，A·A＝0，A·A＝0，则△BCD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 解析：　如右图所示， 设A＝a，A＝b，A＝c， ∵C·C＝(a－b)·(c－b) ＝a·c－b·c－a·b＋b2 ＝b2>0. 同理B·B>0，D·D>0.故选B. 答案：　B 4.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为(　　) A. B. C. D. 解析：　∵＝A＋A＋， ∴||＝ ＝ ∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3， ∠BAD＝90°， ∠BAA1＝∠DAA1＝60°， ∴〈A，A〉＝90°，〈A，〉＝〈A，〉＝60°. ∴|A|＝ ＝.故选D. 答案：　D 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．在空间四边形ABCD中，A·C＋B·A＋C·B＝________. 解析：　设A＝b，A＝c，A＝d， 则C＝d－c，B＝d－b，＝c－b. 原式＝0. 答案：　0 6．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，则m⊥n，则λ＝________. 解析：　m·n＝(a＋b)·(a＋λb) ＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2 ＝18＋λ×3×4×cos 135°＋3×4×cos 135°＋λ×16 ＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ， ∵m⊥n，∴6＋4λ＝0， ∴λ＝－. 答案：　－ 三、解答题(每小题10分，共20分) 7.如图所示，已知正三棱锥A－BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G是AB，AD，DC上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2， 求下列向量的数量积： (1)A·D；(2)A·B；(3)G·A； (4)E·B. 解析：　(1)|A|＝a，||＝a，〈A，D〉＝120°， 所以A·D＝|||D|cos 120°＝－a2. (2)因为B＝A－A， 所以A·B＝A·(A－A)＝A·A－A·A， 又因为|A|＝a，||＝a，〈A，A〉＝〈A，A〉＝60°， 所以A·B＝a2－a2＝0. (3)因为点F，G是AD，DC上的点， 所以G＝＝－A， 所以G·A＝－， 因为＝a2， 所以G·A＝－a2. (4)因为点E，F分别是AB，AD上的点，所以E＝B， 所以E·B＝B·B， 结合图形可知〈B，B〉＝60°， 所以E·B＝B·B＝×a×a×cos 60°＝a2. 8．在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|. 解析：　∵M＝M＋B＋C ＝A＋(A－A)＋(A－A) ＝－A＋A＋A. ∴M·M ＝(－A＋A＋)·(－A＋A＋A) ＝－A·A－A·A＋A·A＋2＋ ＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2. 故|M|＝＝a. 即|MN|＝a. 尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a. (1)用向量法求A1B和B1C的夹角； (2)用向量法证明A1B⊥AC1； (3)用向量法求AC1的长度． 解析：　(1)因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a， 所以||＝||＝a. 因为＝A－， ＝＝A－， 所以·＝(A－)·(A－)＝a2， 所以cos〈，〉＝＝， 即A1B和B1C的夹角为60°； (2)证明：因为＝A＋＋A， ＝A－， 所以·＝0，A1B⊥AC1； (3)由(2)知，＝A＋＋A， 所以2＝(A＋＋A)2＝3a2， 所以||＝AC1＝a. - 5 -