高中人教A版数学必修4：第27课时 两角差的余弦公式 Word版含解析.doc

第27课时　两角差的余弦公式 　　　　　　课时目标 　掌握两角差的余弦公式及推导，能用公式进行简单的恒等变形． 　　识记强化 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 　　课时作业 一、选择题 1．cos(－75°)的值是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：cos(－75°)＝cos(45°－120°)＝cos45°·cos120°＋sin45°sin120°＝×＋×＝，故选C. 2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝，sinβ＝－，则cos(α－β)的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：A 解析：∵α为锐角，且cosα＝，∴sinα＝＝.∵β为第三象限角，且sinβ＝－，∴cosβ＝－＝－，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.故选A. 3．已知锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：A 解析：∵α，β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝，∴cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝. 4．在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 答案：D 解析：由题意，得cosAcosB－sinAsinB>0. 即cos(A＋B)>0，－cosC>0，cosC<0. 又0<C<π，故<C<π，△ABC为钝角三角形． 5．已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，则α－β等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：B 解析：因为α，β均为锐角，所以sinα＝，sinβ＝. cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝ 又∵sinα<sinβ；∴0<α<β<， ∴－<α－β<0.故α－β＝－. 6．若cos＝，x∈，则cosx的值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：∵x∈，∴∈. ∴sin＝－. ∴cosx＝cos＝coscos＋sinsin＝＝. 二、填空题 7．－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________. 答案：cos1° 解析：－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝－sin40°·(－sin39°)＋cos40°cos39°＝cos(40°－39°)＝cos1°. 8．已知α是第二象限角，sin＝－，则cosα＝________. 答案：－ 解析：因为α是第二象限角，sin＝－<0，所以α＋是第三象限角， 所以cos＝－， 所以cosα＝cos＝ cos＋sin＝－. 9．若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b＝________. 答案： 解析：a·b＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝. 三、解答题 10．已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求角β的大小． 解：因为sin(π－α)＝，所以sinα＝. 因为0<α<，所以cosα＝＝. 因为cos(α－β)＝，且0<β<α<，所以0<α－β<， 所以sin(α－β)＝＝. 所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝. 因为0<β<， 所以β＝. 11．已知函数f(x)＝－cos2xcos＋sin2xsin. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若<α<β<，f(α)＝，且f(β)＝，求角2β－2α的大小． 解：(1)因为f(x)＝－cos2xcos＋sin2xsin， 所以f(x)＝cos2xcos＋sin2xsin＝cos， 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因为f(α)＝，且f(β)＝， 所以cos＝， cos＝. 又<α<β<，所以2α－，2β－∈， 所以sin＝＝，sin＝＝， 所以cos(2β－2α) ＝cos ＝coscos＋ sinsin ＝×＋×＝. 又<α<β<，所以0<2β－2α<，所以2β－2α＝. 　　能力提升 12．若cos(α－β)＝，cos2α＝，且α、β均为锐角，α<β，则α＋β的值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵0<α<，0<β<，α<β，∴－<α－β<0. 又cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝－＝－. 又∵0<2α<π，cos2α＝， ∴sin2α＝＝， ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝×＋×＝－. 又0<α＋β<π，故α＋β＝. 13．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的取值范围． 解：由sinα＋sinβ＝，平方得， sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝，　　① 设cosα＋cosβ＝m，平方得， cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝m2, ② 由①＋②，得sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＋cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝m2＋， 整理得，m2＝＋2cos(α－β)． 又由于cos(α－β)∈[－1,1]，m2>0， 所以0≤m2≤，解得－≤m≤. ∴cosα＋cosβ的取值范围是.