高中人教A版数学必修4：习题课（四） Word版含解析.doc

习题课(四) 一、选择题 1．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－，则cos2α＝(　　) A. B．－ C．－ D. 答案：A 解析：因为cosα＋sinα＝－，α∈(0，π)，所以sin2α＝－，cosα<0，且α∈，所以2α∈，所以cos2α＝＝.故选A. 2．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝(　　) A. B．－ C．－ D. 答案：B 解析：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sinβ＝，∴sinβ＝－.又β是第三象限角，∴cosβ＝－，∴sin(2β＋7π)＝－sin2β＝－2sinβcosβ＝－2××＝－. 3．已知角α，β均为锐角，且cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ＝(　　) A. B. C. D．3 答案：D 解析：由于α，β均为锐角，cosα＝，则sinα＝，tanα＝.又tan(α－β)＝－，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.故选D. 4．函数f(x)＝cos2x＋sin2x＋2(x∈R)的值域是(　　) A．[2,3] B. C．[1,4] D．[2,4] 答案：A 解析：因为f(x)＝cos2x＋sin2x＋2＝3－2sin2x＋sin2x＝3－sin2x，sinx∈[－1,1]，所以f(x)∈[2,3]．故选A. 5．已知tanα，tanβ是方程x2＋3 x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β等于(　　) A. B．－ C.或－ D．－或 答案：B 解析：由题意，得tanα＋tanβ＝－3 ，tanαtanβ＝4，∴tanα<0且tanβ<0.又∵α，β∈，∴α，β∈(－，0)．tan(α＋β)＝＝＝，又知α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－. 6．化简的结果是(　　) A．－cos1 B．cos1 C.cos1 D．－cos1 答案：C 解析：原式＝＝＝cos1. 二、填空题 7．已知sin＝，则sin2x＝________. 答案：－ 解析：∵sin＝，∴sinx＋cosx＝，两边平方，得1＋sin2x＝，∴sin2x＝－. 8．已知cos＋cos＝，且α∈，则sin＝________. 答案： 解析：因为cos＋cos＝，所以cos＋sinα＝，所以cosα＋sinα＋sinα＝，所以＝，得sin＝.因为α∈，故α＋∈，所以cos＝，所以sin＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝. 9．已知θ为第二象限角，tan2θ＝－2，则＝________. 答案：3＋2 解析：∵tan2θ＝＝－2，∴tanθ＝－或tanθ＝.∵＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，∴tanθ<0，∴tanθ＝－， ＝＝＝＝＝3＋2. 三、解答题 10．已知函数f(x)＝2sin，x∈R. (1)求f(0)的值； (2)设α、β∈， f(3α＋)＝， f(3β＋2π)＝，求sin(α＋β)的值． 解：(1)f(0)＝2sin＝－2sin＝－1. (2)f＝2sin＝2sinα＝，∴sinα＝. 又α∈，∴cosα＝. 同理f(3β＋2π)＝2sin ＝2sin＝2cosβ＝， ∴cosβ＝，又β∈，∴sinβ＝. ∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝×＋×＝. 11．已知α是第一象限的角，且cosα＝， 求的值． 解：＝ ＝＝·. 由已知可得sinα＝， ∴原式＝×＝－. 　　能力提升 12．向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，a与b的夹角为60°，则直线xcosα－ysinα＝与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．随α、β的值而定 答案：B 解析：cos60°＝＝ ＝cos(α－β)＝. 圆心(cosβ，－sinβ)到直线xcosα－ysinα＝的距离为＝0， 所以圆心在直线上，圆与直线相交． 13．已知向量m＝(sinx,1－cosx)，n＝(1－sinx，cosx)，函数f(x)＝m·n＋. (1)求函数f(x)的零点； (2)若f(α)＝，且α∈，求cosα的值． 解：(1)f(x)＝m·n＋＝sinx－sin2x＋cosx－cos2x＋＝sinx＋cosx＝2sin. 由2sin＝0，得x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝kπ－(k∈Z)， 所以函数f(x)的零点为x＝kπ－(k∈Z)． (2)由(1)，知f(α)＝2sin＝，所以sin＝， 因为α∈，所以<α＋<， 则cos＝－， 所以cosα＝cos＝ coscos＋sinsin＝－×＋×＝.