高中数学人教A必修5模块综合测评2 Word版含解析.doc

模块综合测评(二) (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列1,3,7,15，…的通项an可能是(　　) A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n－1 【解析】　取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D. 【答案】　C 2．不等式x2－2x－5>2x的解集是(　　) A．{x|x≤－1或x≥5} B．{x|x<－1或x>5} C．{x|1<x<5} D．{x|－1≤x≤5} 【解析】　不等式化为x2－4x－5>0，所以(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5. 【答案】　B 3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于(　　) A．16 B．32 C．64 D．256 【解析】　∵{an}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a(an>0)，∴a8·a10·a12＝a＝64. 【答案】　C 4．下列不等式一定成立的是(　　) A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 【解析】　 选项 具体分析 结论 A lg≥lg＝lg x，当且仅当x2＝时，即x＝ 不正确 B 当sin x<0时，不可能有sin x＋≥2 不正确 C 由基本不等式x2＋1＝|x|2＋1≥2|x| 正确 D 因为x2＋1≥1，所以≤1 不正确 【答案】　C 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsin A，则△ABC的面积等于(　　) A. B. C．1 D. 【解析】　∵a＝3bsin A， ∴由正弦定理得sin A＝3sin Bsin A， ∴sin B＝. ∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝acsin B＝×3×＝，故选 A. 【答案】　A 6．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是(　　) A．T10 B．T13 C．T17 D．T25 【解析】　由等比数列的性质得 a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝a，而T17＝a，故T17为常数． 【答案】　C 7．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于(　　) A．－3 B．1 C．－1 D．3 【解析】　由题意：A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－3<x<2}，A∩B＝{x|－1<x<2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2， ∴a＋b＝－3. 【答案】　A 8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】　远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S7＝381. 请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a1. 代入公式Sn＝， 即381＝， ∴a1＝＝3. ∴此塔顶有3盏灯． 【答案】　B 9．若实数x，y满足则的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(0,1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 【解析】　实数x，y满足 的相关区域如图中的阴影部分所示． 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，的取值范围为(1，＋∞)． 【答案】　C 10．在△ABC中，若c＝2bcos A，则此三角形必是(　　) A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．有一角为30°的直角三角形 【解析】　由正弦定理得sin C＝2cos Asin B， ∴sin (A＋B)＝2cos Asin B， 即sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B， 即sin Acos B－cos Asin B＝0， 所以sin (A－B)＝0. 又因为－π<A－B<π， 所以A－B＝0， 即A＝B. 【答案】　A 11．函数y＝(x>1)的最小值是(　　) A．2＋2 B．2－2 C．2 D．2 【解析】　∵x>1， ∴x－1>0. ∴y＝＝ ＝ ＝ ＝x－1＋＋2 ≥2＋2. 【答案】　A 12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tan B＝，·＝，则tan B等于(　　) A. B.－1 C．2 D．2－ 【解析】　由·＝，得accos B＝， ∴2accos B＝1. 又由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－1， ∴a2－b2＋c2＝1， ∴tan B＝＝2－. 【答案】　D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式 2x＋by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是______. 【导学号：05920089】 【解析】　点P(1，－2)关于原点的对称点为点P′(－1，2)． 由题意知 解得<b<. 【答案】　 14．(2015·江苏高考)设数列满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________． 【解析】　由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝. 又∵a1＝1， ∴an＝(n≥2)． ∵当n＝1时也满足此式， ∴an＝(n∈N*)． ∴＝＝2. ∴S10＝2×＝2×＝. 【答案】　 15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________． 【解析】　∵＝＝＝2R，a＝2， 又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C 可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c， ∴a2－b2＝c2－bc， ∴b2＋c2－a2＝bc. ∴＝＝＝cos A， ∴A＝60°. ∵在△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60° ＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)， ∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝. 【答案】　 16．若<<0，已知下列不等式： ①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④＋>2； ⑤a2>b2；⑥2a>2b. 其中正确的不等式的序号为______． 【解析】　∵<<0， ∴b<a<0，故③错； 又b<a<0，可得|a|<|b|，a2<b2， 故②⑤错，可证①④⑥正确． 【答案】　①④⑥ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0. (1)求公差d的取值范围； (2)问前几项的和最大，并说明理由． 【解】　(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d， ∵S12>0，S13<0， ∴ 即 ∴－<d<－3. (2)∵S12>0，S13<0， ∴ ∴ ∴a6>0， 又由(1)知d<0. ∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大． 18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求的最大值和最小值． 【解】　∵ ∴ ∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2. ∴ 建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示． 令k＝，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率． 取B(－1,0)，C(－3,1)， 则kAB＝，kAC＝， ∴≤≤. 故的最大值是，最小值是. 19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b－c)cos A－acos C＝0. (1)求角A的大小； (2)若a＝，试求当△ABC的面积取最大值时，△ABC的形状. 【导学号：05920090】 【解】　(1)∵(2b－c)cos A－acos C＝0， 由余弦定理得(2b－c)·－a·＝0， 整理得b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝， ∵0<A<π， ∴A＝. (2)由(1)得b2＋c2－bc＝3及b2＋c2≥2bc得bc≤3. 当且仅当b＝c＝时取等号． ∴S△ABC＝bcsin A≤×3×＝. 从而当△ABC的面积最大时，a＝b＝c＝. ∴当△ABC的面积取最大值时△ABC为等边三角形． 20．(本小题满分12分)已知函数y＝的定义域为R. (1)求a的取值范围； (2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0. 【解】　(1)∵函数y＝的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立． ①当a＝0时，1≥0，不等式恒成立； ②当a≠0时，则 解得0<a≤1. 综上可知，a的取值范围是[0,1]． (2)由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0. ∵0≤a≤1， ∴①当1－a>a， 即0≤a<时， a<x<1－a； ②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解； ③当1－a<a，即<a≤1时， 1－a<x<a. 综上，当0≤a<时，原不等式的解集为(a,1－a)； 当a＝时，原不等式的解集为∅； 当<a≤1时，原不等式的解集为(1－a，a)． 21．(本小题满分12分)若数列{an}满足a－a＝d，其中d为常数，则称数列{an}为等方差数列．已知等方差数列{an}满足an>0，a1＝1，a5＝3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【解】　(1)由a＝1，a＝9， 得a－a＝4d， ∴d＝2. a＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∵an>0， ∴an＝. 数列{an}的通项公式为an＝. (2)an＝(2n－1)， 设Sn＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－1)·，① Sn＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－1)· ，② ①－②，得 Sn＝＋2－(2n－1)· ＝＋2·－(2n－1)·， 即Sn＝3－， 即数列的前n项和为3－. 22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号) 图1 【解】　轮船从点C到点B用时80分钟，从点B到点E用时20分钟，而船始终匀速航行， 由此可见，BC＝4EB. 设EB＝x，则BC＝4x， 由已知得∠BAE＝30°， 在△AEC中，由正弦定理得 ＝， 即sin C＝＝＝， 在△ABC中，由正弦定理得 ＝， 即AB＝＝＝＝. 在△ABE中，由余弦定理得 BE2＝AE2＋AB2－2AE·ABcos 30° ＝25＋－2×5××＝， 所以BE＝(千米)． 故轮船的速度为v＝÷＝(千米/时)．