高中数学人教A必修5学业分层测评11 等差数列前n项和的综合应用 Word版含解析.doc

学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．等差数列前n项和为Sn，若a3＝4，S3＝9，则S5－a5＝(　　) A．14　　 　B．19　　　 C．28　　 　D．60 【解析】　在等差数列{an}中，a3＝4，S3＝3a2＝9，∴a2＝3，S5－a5＝a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝2×7＝14. 【答案】　A 2．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是(　　) A．S7 B．S8 C．S13 D．S15 【解析】　a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3(a1＋6d)＝3a7＝3×＝×＝S13. 于是可知S13是常数． 【答案】　C 3．已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为(　　) A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【解析】　由得 所以故|a6|>|a7|. 【答案】　C 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 【解析】　∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45. 【答案】　B 5．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　) A. B. C. D． 【解析】　∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝.又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.故选B. 【答案】　B 二、填空题 6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝ . 【解析】　∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5. 【答案】　5 7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k＝ . 【解析】　∵an＝ ∴an＝2n－10.由5<2k－10<8， 得7.5<k<9，∴k＝8. 【答案】　8 8．首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝ 时，Sn取到最大值． 【解析】　∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∵a1>0， ∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0. 故当n＝5或6时，Sn最大． 【答案】　5或6 三、解答题 9．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ 【解】　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n. (2)法一　a1＝9，d＝－2， Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n ＝－(n－5)2＋25， ∴当n＝5时，Sn取得最大值． 法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列． 令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤. ∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0. ∴当n＝5时，Sn取得最大值． 10．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 【解】　∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n. 当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ＝na1＋d＝13n＋×(－4) ＝15n－2n2； 当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an) ＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn ＝2×－(15n－2n2) ＝2n2－15n＋56. ∴Tn＝ [能力提升] 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 【解析】　Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40， 所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30， 由Sn＝＝210，得n＝14. 【答案】　B 2．(2015·海淀高二检测)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】　因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有 所以所以≤k≤. 因为k∈N*，所以k＝7. 故满足条件的n的值为7. 【答案】　B 3．(2015·潍坊高二检测)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 ． 【解析】　设等差数列{an}的项数为2n＋1， S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1 ＝＝(n＋1)an＋1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝ ＝nan＋1， 所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7， S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项． 【答案】　11　7 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2. 【导学号：05920069】 (1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象； (2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项； (3){Sn}有多少项大于零？ 【解】　(1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.图象如图． (2)Sn＝－n2＋13n＝－2＋，n∈N*， ∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减． {Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42. (3)由图象得{Sn}中有12项大于零．