第二章 章末检测（A）.doc

第二章　平面向量(A) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．与向量a＝(1，)的夹角为30°的单位向量是(　　) A．(，)或(1，) B．(，) C．(0,1) D．(0,1)或(，) 2．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是(　　) A．|a|＝|b| B．a·b＝ C．a－b与b垂直 D．a∥b 3．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于(　　) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于(　　) A．0 B．2＋ C. D．2 5．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于(　　) A. B. C．1＋ D．2 6．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　) A．－a＋b B.a－b C.a－b D．－a＋b 7．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 8．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为(　　) A．等腰非直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形 9．设点A(1,2)、B(3,5)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移后得到为(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,7) 10．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 11．在菱形ABCD中，若AC＝2，则·等于(　　) A．2 B．－2 C．||cos A D．与菱形的边长有关 12．如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是(　　) A.· B.· C.· D.· 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________. 14．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________. 15．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________． 16. 如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)． (1)若|c|＝2，且c∥a，求c； (2)若|b|＝，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角． 18．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时， (1)c∥d；(2)c⊥d. 19．(12分)已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求： (1)a与b的夹角； (2)a－b与a＋b的夹角的余弦值． 20．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． 21．(12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证： (1)BE⊥CF； (2)AP＝AB. 22．(12分)已知向量、、满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1. 求证：△P1P2P3是正三角形． 第二章　平面向量(A) 答案 1．D　2.C 3．D　[根据力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．] 4．D　[|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|2|＝2||＝2.] 5．B　[由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝，故选B.] 6．B　[令c＝λa＋μb，则　∴∴c＝a－b.] 7．C　[∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.] 8．C　[∵＝(4，－3)，＝(2，－4)， ∴＝－＝(－2，－1)， ∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0， ∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||. ∴△ABC是直角非等腰三角形．] 9．B　[∵＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量后得，＝＝(2,3)．] 10．A　[a·b＝－3λ＋10<0，∴λ>.当a与b共线时，＝，∴λ＝.此时，a与b同向，∴λ>.] 11．B　[ 如图，设对角线AC与BD交于点O，∴＝＋. ·＝·(＋)＝－2＋0＝－2，故选B.] 12．A　[根据正六边形的几何性质． 〈，〉＝，〈，〉＝， 〈，〉＝，〈，〉＝. ∴·<0，·＝0， ·＝||·||cos ＝||2， ·＝||·2||·cos ＝||2.比较可知A正确．] 13．－1 解析　∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)． ∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1. 14．3 解析　a·b＝|a||b|cos 30°＝2··cos 30°＝3. 15．6 解析　由(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6. 16．－ 解析　因为点O是A，B的中点，所以＋＝2，设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)． 所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)＝2(x－)2－. ∴当x＝时，(＋)·取到最小值－. 17．解　(1)∵c∥a，∴设c＝λa，则c＝(λ，2λ)． 又|c|＝2，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0. ∵|a|＝，|b|＝，∴a·b＝－. ∴cos θ＝＝－1，∴θ＝180°. 18．解　由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3. (1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝. (2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0. ∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－. 19．解　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝1－|b|2＝，∴|b|2＝，∴|b|＝， 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.∴θ＝45°. (2)∵|a|＝1，|b|＝， ∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝.∴|a－b|＝， 又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝.∴|a＋b|＝， 设a－b与a＋b的夹角为α，则cos α＝＝＝.即a－b与a＋b的夹角的余弦值为. 20．解　(1)＝(3,5)，＝(－1,1)， 求两条对角线的长即求|＋|与|－|的大小． 由＋＝(2,6)，得|＋|＝2， 由－＝(4,4)，得|－|＝4. (2)＝(－2，－1)，∵(－t)·＝·－t2，易求·＝－11，2＝5， ∴由(－t)·＝0得t＝－. 21．证明　 如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2， 则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)， E(1,2)，F(0,1)． (1)＝－＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， ＝－＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)， ∵·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴⊥，即BE⊥CF. (2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)， ∵∥，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2. 同理由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2. 解得x＝，∴y＝，即P. ∴2＝2＋2＝4＝2， ∴||＝||，即AP＝AB. 22．证明　∵＋＋＝0，∴＋＝－， ∴(＋)2＝(－)2， ∴||2＋||2＋2·＝||2， ∴·＝－， cos∠P1OP2＝＝－， ∴∠P1OP2＝120°.同理，∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，即、、中任意两个向量的夹角为120°，故△P1P2P3是正三角形．