课时提升作业 十 3.2.doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 课时提升作业 十 一般形式的柯西不等式 一、选择题(每小题4分,共12分) 1.(2016·珠海高二检测)已知a,b,c,x,y,z为正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40, ax+by+cz=20,则=　(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【解析】选C.由已知得 (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2, 结合柯西不等式,知===,所以=. 2.已知x,y,z是非负实数,若9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值是　 (　　) A.9 B.10 C.14 D.15 【解析】选A.因为(3x+6y+5z)2≤[12+()2+()2]·[(3x)2+(2y)2+(z)2] =9(9x2+12y2+5z2)=81,所以3x+6y+5z≤9.当且仅当x=,y=,z=1时,等号成立. 故u=3x+6y+5z的最大值为9. 3.已知a2+b2+c2=1,若a+b+c≤|x+1|对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取值范围是　(　　) A.x≥1或x≤-3 B.-3≤x≤1 C.x≥-1或x≤3 D.-1≤x≤3 【解题指南】根据题目中的a2+b2+c2=1和a+b+c≤|x+1|的结构形式,可以联想使用柯西不等式. 【解析】选A.由柯西不等式得:(a2+b2+c2)(1+1+2)≥(a+b+c)2, 所以a+b+c≤2,又因为a+b+c≤|x+1|, 所以|x+1|≥2,解之得x≥1或x≤-3. 二、填空题(每小题4分,共8分) 4.已知x,y,z∈R,且2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为______. 【解析】因为[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](4+4+1) ≥(2x+2y+z-1)2=81, 所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9. 答案:9 5.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是________. 【解析】(a+b+c)= [()2+()2+()2]≥ =(2+3+6)2=121. 当且仅当==时等号成立. 答案:121 三、解答题 6.(10分)(2016·深圳高二检测)已知定义在R上的函数f(x)=+的最小值为a,又正数p,q,r满足p+q+r=a.求证p2+q2+r2≥3. 【证明】因为f(x)=+≥=3, 即函数f(x)=+的最小值a=3. 所以p+q+r=3. 由柯西不等式得 (p2+q2+r2)(1+1+1)≥(p+q+r)2=9, 于是p2+q2+r2≥3. 一、选择题(每小题5分,共10分) 1.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是　(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.6　　　　　D.3 【解析】选B.由柯西不等式,得 (12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2] ≥[x+y+(1-x-y)]2=1. 即x2+y2+(1-x-y)2≥. 当且仅当x=y=1-x-y. 即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值. 【补偿训练】(2015·珠海高二检测)已知++…+=1,++…+=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是　(　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 【解析】选A.因为(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(++…+)×(++…+)=1×1.当且仅当==…=时,等号成立. 所以a1x1+a2x2+…+anxn的最大值为1. 2.(2016·长沙高二检测)已知α为锐角,则的最小值为 (　　) A.3-2 B.3+2 C-1 D.+1 【解析】选B. ≥, 当且仅当sinα=cosα时等号成立, 此时==3+2. 即的最小值为3+2. 二、填空题(每小题5分,共10分) 3.方程2+=的解为________. 【解题指南】利用柯西不等式等号成立的条件构建方程求解. 【解析】由柯西不等式,得(2+)2 = ≤[22+()2] =6×=15, 即2+≤. 当且仅当=, 即x=-时,等号成立. 故原方程的根是x=-. 答案:x=- 4.(2016·西安高二检测)边长为a,b,c的三角形ABC,其面积为,外接圆半径为1,若s=++,t=++,则s与t的大小关系是________. 【解析】由已知得absinC=,=2R=2. 所以abc=1,所以++=ab+bc+ca, 由柯西不等式得(ab+bc+ca)≥(++)2, 所以≥(++)2. 即++≥++. 当且仅当a=b=c=1时等号成立. 答案:s≤t 三、解答题 5.(10分)(2016·石家庄高二检测)设a1>a2>…>an>an+1,求证:++…++>0. 【证明】为了运用柯西不等式,我们将a1-an+1写成 a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1), 于是[(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)]·≥n2>1. 即(a1-an+1)·(++…+)>1, 所以++…+>,故++…++>0. 关闭Word文档返回原板块