人教a版数学【选修1-1】作业：模块综合检测（a）（含答案）.doc

模块综合检测(A) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是(　　) A．0　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 2．已知命题p：若x2＋y2＝0 (x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4．已知a>0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是(　　) A．∃x∈R，ax2－bx≥ax－bx0 B．∃x∈R，ax2－bx≤ax－bx0 C．∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0 D．∀x∈R，ax2－bx≤ax－bx0 5．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．圆 C．双曲线的一支 D．线段 6．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　) A．[0，) B．[，) C．(，] D．[，π) 7．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则a的最大值是(　　) A．1 B．3 C．9 D．不存在 8．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　) A．10 B．8 C．6 D．4 9．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　) A. B. C. D. 10．若当x＝2时，函数f(x)＝ax3－bx＋4有极值－，则函数的解析式为(　　) A．f(x)＝3x3－4x＋4 B．f(x)＝x2＋4 C．f(x)＝3x3＋4x＋4 D．f(x)＝x3－4x＋4 11．设O为坐标原点，F1、F2是－＝1(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．x±y＝0 B.x±y＝0 C．x±y＝0 D.x±y＝0 12．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是(　　) A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C．∃a∈R，f(x)是偶函数 D．∃a∈R，f(x)是奇函数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范 围是 ________________________________________________________________． 14．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为 ________________________________________________________________________． 15．若AB是过椭圆＋＝1 (a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝________. 16．已知f(x)＝x3＋3x2＋a (a为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f(x)的最大值是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知p：2x2－9x＋a<0，q：，且綈q是綈p的必要条件，求实数a的取值范围． 18．(12分)设P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积． 19.（12分）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程． 20．(12分)已知函数f(x)＝ax2－ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在(1,2)处的切线方程． 21.(12分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点． (1)求a的取值范围； (2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值． 22．(12分)已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a∈R)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)当a≤时，讨论f(x)的单调性． 模块综合检测(A) 答案 1．B　[原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．] 2．B　[命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真．] 3．D　[双曲线－＝－1，即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．所以对椭圆＋＝1而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为＋＝1.] 4．C　[由于a>0，令函数y＝ax2－bx＝a(x－)2－，此时函数对应的图象开口向上，当x＝时，取得最小值－，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝，ymin＝ax－bx0 ＝－，那么对于任意的x∈R， 都有y＝ax2－bx≥－＝ax－bx0.] 5．A　[∵P为MF1中点，O为F1F2的中点， ∴|OP|＝|MF2|，又|MF1|＋|MF2|＝2a， ∴|PF1|＋|PO|＝|MF1|＋|MF2|＝a. ∴P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆．] 6．D　[∵y＝，∴y′＝. 令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>1， ∴y′＝＝－. 再令＝m，则0<m<1， ∴y′＝4m2－4m＝4(m－)2－1，m∈(0,1)． 容易求得－1≤y′<0， ∴－1≤tan α<0，得π≤α<π.] 7．B　[因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以有f′(x)≥0，x∈[1，＋∞)，即3x2－a≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2. 因为x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，从而a≤3.] 8．B　[由抛物线的定义， 得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.] 9．D　[由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，∴－2＝－×4，∴a＝2b，设b＝k， 则a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝.] 10．D　[因为f(x)＝ax3－bx＋4， 所以f′(x)＝3ax2－b. 由题意得， 解得， 故所求函数解析式为f(x)＝x3－4x＋4.] 11．D　[如图所示，∵O是F1F2的中点，＋＝2， ∴（＋)2＝(2)2. 即 ||2＋||2＋2||·||·cos 60°＝4||2. 又∵|PO|＝a， ∴ ||2＋||2＋||||＝28a2. ① 又由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a， ∴(|PF1|－|PF2|)2＝4a2. 即|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2. ② 由①－②得|PF1|·|PF2|＝8a2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝20a2. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos 60°＝， ∴8a2＝20a2－4c2.即c2＝3a2. 又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2. 即＝2，＝. ∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.] 12．C　[f′(x)＝2x－，故只有当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上才是增函数，因此A、B不对，当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，因此C对，D不对．] 13．[3,8) 解析　因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0， 即m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0， 即m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8. 14.－＝1 解析　由双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x得＝，∴b＝a. ∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4. 又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(a)2， ∴a2＝4，b2＝12. ∴所求双曲线的方程为－＝1. 15．－ 解析　设A(x1，y1)，M(x0，y0)， 则B(－x1，－y1)， 则kAM·kBM＝·＝ ＝＝－. 16．57 解析　f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝0， 得x＝0或x＝－2. 又∵f(0)＝a，f(－3)＝a， f(－2)＝a＋4，f(3)＝54＋a， ∴f(x)的最小值为a，最大值为54＋a. 由题可知a＝3，∴f(x)的最大值为57. 17．解　由，得， 即2<x<3.∴q：2<x<3. 设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2<x<3}， ∵綈p⇒綈q，∴q⇒p，∴B⊆A. 即2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0. 设f(x)＝2x2－9x＋a， 要使2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0， 需，即. ∴a≤9.故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}． 18．解　如图所示，设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 则S△F1PF2＝mnsin ＝mn. 由椭圆的定义知 |PF1|＋|PF2|＝20， 即m＋n＝20. ① 又由余弦定理，得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ＝|F1F2|2， 即m2＋n2－mn＝122. ② 由①2－②，得mn＝. ∴S△F1PF2＝. 19．解 设 P＝(x，y)，则 ＝(4,0)，＝(x＋2，y)， ＝(x－2，y)． ∴ ||＝4，||＝， ·＝4(x－2)， 代入 ||·||＋·＝0， 得4＋4(x－2)＝0， 即＝2－x， 化简整理，得y2＝－8x. 故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝－8x. 20．解　(1)f′(x)＝2ax－a， 由已知得， 解得， ∴f(x)＝x2－2x＋. (2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为 y－2＝x－1，即x－y＋1＝0. 21．解　(1)由消去y， 得(3－a2)x2－2ax－2＝0. 依题意得即－<a<且a≠±. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB， ∴x1x2＋y1y2＝0， 即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0， 即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0. ∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0， ∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围． 故a＝±1. 22．解　(1)当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x＋－1， x∈(0，＋∞)， 所以f′(x)＝，x∈(0，＋∞)， 因此f′(2)＝1， 即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1. 又f(2)＝ln 2＋2， 所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－(ln 2＋2)＝x－2，即x－y＋ln 2＝0. (2)因为f(x)＝ln x－ax＋－1， 所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)． 令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)． ①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)， 所以当x∈(0,1)时，g(x)>0， 此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0， 此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增． ②当a≠0时，由f′(x)＝0， 即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝－1. a．当a＝时，x1＝x2，g(x)≥0恒成立， 此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． b．当0<a<时，－1>1， x∈(0,1)时，g(x)>0， 此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减； x∈时，g(x)<0， 此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增； x∈时，g(x)>0， 此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减． c．当a<0时，由于－1<0. x∈(0,1)时，g(x)>0， 此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减； x∈(1，＋∞)时，g(x)<0， 此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 综上所述： 当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增； 当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当0<a<时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．