人教a版数学【选修1-1】作业：2.3.1抛物线及其标准方程（含答案）.doc

§2.3 抛物线 2.3.1　抛物线及其标准方程 课时目标　1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程． 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程 (1)方程y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程． (2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________． (3)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向________． (4)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________． (5)抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是________，开口方向________． 一、选择题 1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　) A. B. C．|a| D．－ 2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝±8x 3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是(　　) A．a＋ B．a－ C．a＋p D．a－p 4．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 6．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于(　　) A． B． C． D． 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题 7．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________． 8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________． 9．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________． 三、解答题 10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程． 11．求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为的抛物线的标准方程． 能力提升 12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　) A． B．1 C．2 D．4 13．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程． 1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向． 2．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式． §2.3　抛物线 2．3.1　抛物线及其标准方程 答案 知识梳理 1．相等　焦点　准线 2．(1)标准　(2)(，0)　x＝－　向右 (3)(－，0)　x＝　向左 (4)(0，)　y＝－　向上 (5)(0，－)　y＝　向下 作业设计 1．B　[因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为，故选B.] 2．D　[由题意知抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.] 3．B　[由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－.] 4．C　[容易发现点M(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，或者l在M点处与抛物线相切时，l与抛物线有一个公共点，故选C.] 5．B　[∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)， ∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得 y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.] 6．A　[如图所示，设过点M(，0)的直线方程为y＝k(x－)，代入y2＝2x并整理， 得k2x2－(2k2＋2)x＋3k2＝0， 则x1＋x2＝. 因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2. 不妨设x2＝2－＝是方程的一个根， 可得k2＝， 所以x1＝2. ＝＝＝ ＝＝.] 7．y＝3 解析　抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3. 8．y＝4x2 9．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析　由题意知，设P(x1，x－1)，Q(x2，x－1)， 又A(－1,0)，PA⊥PQ，－*6]＝(－x，－2－y)，·＝0， 即(－1－x1,1－x)·(x2－x1，x－x)＝0， 也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－x)·(x－x)＝0. ∵x1≠x2，且x1≠－1，∴上式化简得x2＝－x1＝＋(1－x1)－1， 由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3. 10．解　设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)， 则焦点F，由题意， 得 解得或 故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2. 11．解　设所求抛物线方程为y2＝ax (a≠0)． ① 直线方程变形为y＝2x＋1， ② 设抛物线截直线所得弦为AB. ②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0， 则|AB|＝ ＝. 解得a＝12或a＝－4. ∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x. 12．C　[本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系． 方法一　由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－. ∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16， ∴3＋＝4，∴p＝2. 方法二　作图可知，抛物线y2＝2px (p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)， 所以－＝－1，p＝2.] 13．解　设定圆圆心M(3,0)，半径r＝3，动圆圆心P(x，y)，半径为R，则由已知得下列等式 ， ∴|PM|＝|x|＋3. 当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x＝－3的距离相等， ∴点P轨迹为抛物线，焦点M(3,0)，准线x＝－3， ∴p＝6，抛物线方程为y2＝12x. 当x<0时，|PM|＝3－x， 动点P到定点M的距离等于动点P到直线x＝3的距离，点P轨迹为x轴负半轴， 当x＝0时，不符合题意，舍去． ∴所求轨迹方程为y2＝12x (x>0)或y＝0 (x<0)．